Le operazioni fra numeri naturali sono definite dalle operazioni sugli insiemi stessi (che appartengono all'insieme quoziente della relazione di equipotenza fra insiemi).
Le prime due sono fondamentali: l'addizione (o somma) e la moltiplicazione (o prodotto). [La sottrazione è l'opposto della somma, e la divisione l'opposto della moltiplicazione]
Sito di matematica online per la scuola, con contenuti sulle più diffuse branche della matematica. Offre lezioni di matematica online per tutti, bambini e studenti; Esercizi di aritmetica, algebra e logica; Ripasso di matematica;
30 mar 2011
Operazioni con i numeri naturali (Operazioni matematiche)
28 mar 2011
I numeri matematici
Vi siete mai chiesti cosa sono i numeri? perchè esistono? cosa sono gli insiemi numerici? Un insieme numerico è un insieme che contiene per elementi numeri (sequenze di cifre), noi sappiamo che un insieme non tiene conto dell'ordine in cui sono disposti i suoi elementi, ma un insieme numerico è un insieme ordinato, in quanto ogni elemento ha un determinato significato, e rappresenta una quantità.
22 mar 2011
Insiemi equipotenti
Nel tema degli insiemi, della logica matematica, delle relazioni e delle funzioni, abbiamo spiegato a fondo i concetti di corrispondenza biunivoca in questo articolo. Perciò una funzione biiettiva fra due insiemi dà vita ad una corrispondenza biunivoca.
21 mar 2011
Logica in algebra (Cos'è la logica?)
In molti, studiando libri di testo di algebra, si vedono difronte argomenti del tutto estranei al concetto stesso di matematica. Un esempio ne sono i predicati sugli insiemi, le proposizioni o enunciati e/o aperti, e le operazioni logiche (negazione, congiunzione, disgiunzione inclusiva, disgiunzione esclusiva, implicazione materiale, coimplicazione materiale). Tuttavia la logica è la base dell'algebra e dell'aritmetica, poichè da essa derivano tutte le branche della matematica.
19 mar 2011
Definizione di teorema
Un teorema in linea generale viene interpretato come una regola enunciata da qualche scienziato pazzo. Ma i teoremi rientrano nella logica.
Condizioni necessarie e sufficienti
Dati due enunciati z e x, z ↔ x secondo la logica significa che z è condizione necessaria e sufficiente per x, e viceversa.
Condizione necessaria
Date due proposizioni a e b con a che implica b (a → b). Possiamo dire che la conseguenza b è condizione necessaria per la premessa a.
Condizione sufficiente
In un'implicazione materiale fra due enunciati aperti a → b, a è la premessa e b la conseguenza. Perciò possiamo dire che la premessa a è una condizione sufficiente per la conseguenza b.
18 mar 2011
Insiemi numerici
Gli insiemi numerici sono insiemi che contengono un definito intervallo di numeri. In pratica sarebbero tutte le combinazioni possibili di cifre dell'alfabeto dei numeri. L'alfabeto dei numeri è l'insieme che contiene tutte le cifre, ad esempio Alfa = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.
Prendendo n elementi dall'insieme A, anche ripetuti, se li disponiamo in sequenza abbiamo dato vita ad un numero che a sua volta secondo determinate regole aritmetiche rappresenta una quantità di oggetti.
Corrispondenza biunivoca
Per capire più a fondo, ecco una definizione di corrispondenza biunivoca:
Dati due insiemi A e B, tra essi c'è una corrispondenza biunivoca quando per una funzione ogni elemento di A ha un'immagine in B, e ogni elemento di B ha una controimmagine in A.
14 mar 2011
Operazioni logiche con i predicati
Riassumento sappiamo che:
Un predicato è una frase di senso compiuto che in via generale individua una
13 mar 2011
Esercizi operazioni tra insiemi
Ripasso:
Le principali operazioni tra insiemi sono: negazione o complementazione, intersezione, unione, differenza (poi abbiamo anche il prodotto cartesiano e altre).
Esercizi sulle proposizioni
Ecco un elenco di esercizi sulle proposizioni logiche.
Riepilogo:
Sia i predicati che le proposizioni sono frasi di senso compiuto per le quali è possibile stabilire se sono vere o false, secondo la scienza della logica.
8 mar 2011
Prodotto cartesiano di insiemi
Il prodotto cartesiano di insiemi è un operazione binaria in cui gli operandi sono gli insiemi e l'operatore è «x». Dati sue insiemi A e B, il prodotto cartesiano di A e B si indica A x B.
Valore posizionale delle cifre
Il nostro sistema di numerazione è posizionale a base 10. Significa che il valore di una cifra dipende dal posto che occupa nella sequenza delle cifre di un numero.
I numeri naturali
Come abbiamo detto, anticamente ogni popolo aveva un proprio modo di contare, civiltà molto sviluppate facevano uso di un sistema di numerazione (i Romani usavano quello Romano, gli arabi quello Arabo, e così via...) oggi il nostro sistema di numerazione è quello arabo, costituito da 10 simboli detti cifre.
I numeri sono formati da
Imparare a contare
Fin dai tempi più antichi, quando i primi uomini iniziarono a popolare la Terra, contare fu una necessità. I primi pastori ad esempio, avevano la necessità di sapere quante pecore possedeva il loro gregge, e quindi iniziarono a contarle segnando in un bastone una tacca, ogni tacca rappresentava un animale.
Aritmetica per bambini
Ecco un elenco di lezioni di aritmetica per bambini. Tengo presente che è anche un suggerimento di programmazione per scuole primarie.
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6 mar 2011
Studiare la matematica da autodidatta
È possibile studiare la matematica anche da
soli, se si vuole raggiungere determinati obiettivi. È obbligatorio incominciare dalle basi, ad esempio si può partire dai pilastri dell'algebra che sono: Insiemi, Logica, Relazioni e Funzioni. Questi quattro argomenti dell'algebra sono fondamentali per capire bene quelli successivi. Se volete apprendere molto bene questi concetti non dovete seguire un preciso
Funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva.
Innanzitutto iniziamo col dire che non si scrive biettiva, ma biiettiva (con due i).
Le funzioni come sappiamo sono relazioni che generano una corrispondenza univoca fra due insiemi, in quanto ogni elemento del primo insieme ha associato un solo elemento nel secondo, ma non è necessariamente vero l'incontrario.
Una relazione di tipo funzione fra due insiemi A e B da vita quindi a una corrispondenza. Le corrispondenze possono essere di vario tipo:
5 mar 2011
Funzione in matematica
Gli insiemi, la logica e le relazioni sono un argomento importante in matematica e non solo, in quanto si ripresentano nella vita di tutti i giorni, nel lavoro e nello studio di qualsiasi materia.
Poi ci sono un tipo particolare di relazioni, dette funzioni, Le funzioni hanno un'importanta capitale nell'analisi matematica, statistica e probabilità, informatica, chimica ecc.
Requisiti per studiare bene le funzioni:
Insiemi, operazioni con gli insiemi, Logica delle proposizioni, Operazioni logiche, Relazioni e proprietà delle relazioni.
4 mar 2011
L'insieme universo
Nella teoria degli insiemi, l'insieme universo, indicato con U, è l'insieme che contiene tutti gli insiemi esistenti. Ogni insieme esistente, è un sottoinsieme dell'insieme universo, quindi possiamo dire che U contiene anche tutti gli elementi esistenti. Ogni insieme è incluso in U e U include tutti gli insiemi.
Proprietà dell'insieme universo:
Corso di Algebra avanzata online
Questo è un corso, cioè una serie di lezioni sull'algebra avanzata. Quì si trattano argomenti di approfondimento e di storia sull'algebra in generale.
L'insieme universo in matematica.
Prodotto cartesiano di insiemi.
Corrispondenza biunivoca.
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Esercizi con i predicati
Elenco di esercizi sui predicati in matematica, per apprenderli in modo veloce e preciso.
1) Date le seguenti frasi di senso compiuto:
3 mar 2011
Proposizioni in matematica
Le proposizioni in algebra vengono usate per determinare e operare con gli insiemi.
Noi sappiamo che per esprimere la caratteristica di un oggetto è necessaria una frase, ma codesta frase può essere chiamata predicato se è possibile attribuirgli un valore di verità in base ad un ragionamento logico.
Questi sono esempi di predicati:
p: «io sono amico tuo», f: «mia sorella pesa 55 kg», c: «papa ha i capelli bianchi»
Questi invece non sono predicati:
o: «chi sono i tuoi amici?», r: «domani vengo a trovarti» q: «gianna è bella»
p, f e c sono predicati perchè è possibile dire se sono vere o false. o, r e q non sono predicati perchè non ha senso in logica attribuirgli un valore di verità.
2 mar 2011
Relazioni di equivalenza
Una relazione è di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva.
Ripetiamo un attimino per chi sene fosse dimenticato le proprietà delle relazioni matematiche, una relazione algebrica R è:
1 mar 2011
Relazioni d'ordine
Una relazione d'ordine in un insieme A ha il compito generico di ordinare gli elementi di tale insieme. Stabilita quindi una relazione R in A, se essa soddisfa la proprietà antisimmetrica e transitiva delle relazioni, tale relazione prende il nome di relazione d'ordine.
Definizione di relazione d'ordine:
Una relazione R è una relazione d'ordine se e solo se è antisimmetrica e transitiva.
Esempio: