22/mar/2011

Insiemi equipotenti

Nel tema degli insiemi, della logica matematica, delle relazioni e delle funzioni, abbiamo spiegato a fondo i concetti di corrispondenza biunivoca in questo articolo. Perciò una funzione biiettiva fra due insiemi dà vita ad una corrispondenza biunivoca.


Ma cosa sono due insiemi equipotenti? che significa equipotenza?

Per definizione, un insieme A è equipotente ad altro insieme B quando i loro elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca. In questo caso, A e B sono equipotenti.

Esempi:
A = { 1, 7, 9, 13 }
B = { cane, gatto, topo, lupo }
C = { 10, 70, 90, 130 }
D = { cagna, gatta, topa, lupa }
E = { tesla, fiat, volkswagen, skoda, audi, bmw, mercedes, ferrari, porche }
Esaminando gli insiemi sopra elencati, possiamo stabilire fra di essi che:
  • A-B-C-D sono equipotenti fra loro, in quanto possono essere messi in corrispondenza biunivoca.
  • E non è equipotente a nessuno di essi.
E perchè l'insieme E non è equipotente agli altri? Da questo possiamo approfondire la regola che stabilisce se due insiemi sono equipotenti o no. Quindi, se noi esaminiamo bene due insiemi, essi possono essere messi in corrispondenza biunivoca soltanto se hanno lo stesso numero di elementi, altrimenti è impossibile. Il numero di elementi di un insieme prende il nome di cardinalità. La cardinalità è una proprietà comune a tutti gli insiemi esistenti.

Ritornando all'esempio sopra, esaminiamolo anche con argomenti precedenti:
  • A verso B: potrebbe essere una corrispondenza biunivoca se, ad ogni elemento di A corrisponde un solo elemento distinto in B.
  • Ma A e C possono formare una corrispondenza biunivoca con una funzione biiettiva definita dal seguente enunciato aperto (con x che appartiene ad A e y a B) p(x, y): «y = 10x»
  • E B e D possono formare una biunivoca con questa proposizione aperta p(x, y): «y è il femminile di x»

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