28 feb 2011

Proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva

Proprietà riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, antisimmetrica e transitiva delle relazioni matematiche.

Proprietà riflessiva:
Avviene quando definita una relazione R da una proposizione aperta p(x, y), ottenendo x R y (x è in relazione con y) anche y R x (anche y è in relazione con x). Quindi con una spiegazione veloce, una relazione in un dato insieme A è riflessiva quando A (tutti gli elementi di A o ciascun elemento di A) è o sono in relazione con se stessi.




Proprietà antiriflessiva:
Una relazione in un insieme F si dice antiriflessiva quanto nessun elemento di F è in relazione con se stesso.
Per esempio, stabilita una relazione R da un enunciato p(x, y) "x è la metà di y", per verificare se è riflessiva, non riflessiva o antiriflessiva bisogna verificare se ogni elemento del dominio o codominio è in relazione R con se stesso. Quindi, se "x è la metà di y", "x non è la metà di x". Se x = 2, 2 non è la metà di 2. Stessa ed identica cosa con y.


Proprietà simmetrica:
Data una relazione x R y, se si ha che anche y R x, la relazione è simmetrica. Questo significa che in una relazione simmetrica non ha alcun significato l'ordine degli elementi delle coppie o gruppi, perchè la proposizione è sempre vera. Cioè, se ...

Proprietà antisimmetrica:
In una relazione R, se x R y ma y non R x (se x è in relazione con y ma y non è in relazione con x) per tutti gli elementi dell'insieme, allora la relazione è antisimmetrica.

Proprietà transitiva:
La proprietà transitiva di una relazione definita da un enunciato aperto p(x, y, z) ci dice che: se x è in relazione con y e y è in relazione con z, anche x è in relazione con z. Una relazione di questo tipo si dice transitiva.

Le relazioni d'ordine e di equivalenza dipendono proprio da tutte queste proprietà:
  • Una relazione di equivalenza dev'essere riflessiva, simmetrica e transitiva contemporaneamente.
  • Una relazione d'ordine dev'essere antisimmetrica e transitiva.


Una relazione di questo tipo:
{ Nessun elemento del dominio della relazione ha un'immagine, o semplicemente non è controimmagine di nessun elemento del codominio. }
Si dice vuota o nulla, perchè il sottoinsieme risultato non contiene nessuna coppia di x, y, quindi in tutte le combinazioni possibili di coppie di elementi che appartengono all'insieme ambiente, nessuna di esse soddisfa la proposizione della relazione. Quindi a questo punto dobbiamo dire che anche dominio e codominio della relazione sono vuoti.

3 commenti:

Anonimo ha detto...

Complimenti.
L'hai spiegato molto bene finalmente ho capito l'argomento

Cioffa Epic ha detto...

Grazie

Anonimo ha detto...

ma se una relazione è riflessiva ed è l'unica relazione presente, allora è anche simmetrica?
Ad esempio se A=[1,2,3,4] e la relazione è=[(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)], cioè è riflessiva ma non ci sono altri legami, allora si può affermare che è anche simmetrica?
Grazie