tag:blogger.com,1999:blog-32459094726282439282024-03-13T07:30:34.314-07:00Algebra Di BaseSito di matematica online per la scuola, con contenuti sulle più diffuse branche della matematica. Offre lezioni di matematica online per tutti, bambini e studenti; Esercizi di aritmetica, algebra e logica; Ripasso di matematica;JuGhttp://www.blogger.com/profile/00720470053828017225noreply@blogger.comBlogger50125tag:blogger.com,1999:blog-3245909472628243928.post-90094859977828453162011-04-15T05:41:00.000-07:002011-04-18T06:24:19.692-07:00Ci siamo trasferitiAbbiamo ritenuto che i nostri argomenti sono più adatti e organizzabili in un portale web piuttosto che in un blog. L'indirizzo sarà: <a href="http://www.matematicaonline.altervista.org" target="_blank">www.matematicaonline.altervista.org</a>JuGhttp://www.blogger.com/profile/00720470053828017225noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3245909472628243928.post-37357065360871636002011-03-30T12:26:00.000-07:002011-03-31T07:41:24.207-07:00Operazioni con i numeri naturali (Operazioni matematiche)Le operazioni fra numeri naturali sono definite dalle operazioni sugli insiemi stessi (che appartengono all'insieme quoziente della relazione di equipotenza fra insiemi).<br />
Le prime due sono fondamentali: l'addizione (o somma) e la moltiplicazione (o prodotto). [La sottrazione è l'opposto della somma, e la divisione l'opposto della moltiplicazione]<br />
<a name='more'></a><br />
<u><b>Addizione</b></u> (Somma di numeri naturali):<br />
Ci siamo mai chiesti perchè 2 + 2 fà 4? o perchè 12 + 5 fà 18? sinceramente sembra troppo stupida la domanda, infatti potremmo rispondere che se abbiamo 2 mele in una mano e altre 2 nell'altra, unendo le mani ne avremo 4. <u>Possiamo subito pensare agli insiemi</u>, infatti la mano sinistra rappresenta l'insieme A, e la destra l'insieme B. Unendo i due insiemi, otterremmo l'insieme C che contiene quattro elementi.<br />
Quindi:<br />
A = { mela_1, mela_2 }<br />
B = { mela_3, mela_4 }<br />
C = A ⋃ B e cioè { mela_1, mela_2, mela_3, mela_4 }<br />
[Ecco una lezione sull'unione fra insiemi]<br />
Ma se avremmo avuto così:<br />
A = { mela_1, mela_2 }<br />
B = {mela_2, mela_3 }<br />
C = A ⋃ B e cioè { mela_1, mela_2, mela_3 }<br />
Allora C non conterrà quattro elementi, ma tre. Da quì si deduce che nel primo esempio A e B sono disgiunti, mentre nel secondo no. Ora possiamo formulare una regola generale, o per meglio dire, un teorema.<br />
<br />
<dfn>«Dati due insiemi A e B <b>disgiunti</b> ai quali sono associati due numeri naturali <i>a</i> e <i>b</i>, l'unione di A e B ci dà l'insieme C che ha associato il numero <i>c</i>, e quest'ultimo sarà il risultato della somma di <i>a</i> con b<i>»</i><br />
«<i>a</i> e <i>b</i> si dicono <b>addendi</b>»</dfn><br />
<br />
<b><u>Moltiplicazione</u></b>:<br />
Per spiegare alle domande della moltiplicazione, faremo in modo analogo all'addizione. Andiamo in un supermarket per comprare delle brioche, vediamo che ogni confezione ne contiene 6 e prendiamo 3 confezioni. E per sapere quante brioche abbiamo comprato?<br />
A = { b1, b2, b3, b4, b5, b6 } [brioche] con cardinalità t<br />
B = { c1, c2, c3 } [<span style="font-family: inherit;">confezioni] con cardinalità r</span><br />
<span style="font-family: inherit;">C = A x B e cioè { (b1, c1), (b1, c2), (b1, c3), (b2, c1), (b2, c2), ..., (b6, c3)}</span><br />
C avrà cardinalità z = t x r. Quindi 6 x 3 = 18.<br />
Si dice che z è <b>multiplo</b> di t secondo r, ed è multiplo di r secondo t. <br />
<br />
[Avremo potuto risolvere il tutto unendo le tre confezioni? nella realtà sì, ma in algebra no. Poichè è sempre l'insieme A, ed unendono con se stesso infinite volte, sara sempre uguale ad A. Al contrario, se ogni confezione avrebbe avuto un insieme diverso, allora sì.]<br />
<br />
<u><b>Sottrazione</b></u> (O differenza):<br />
Alcuni dicono che la sottrazione è la somma di un numero con l'opposto del secondo, ma questo in N non è possibile, in quanto non esistono i numeri negativi, e non si possono rappresentare in nessun modo.<br />
Basandoci sugli insiemi, e precisamente sull'operazione di differenza fra insiemi, possiamo determinare la sottrazione fra due numeri. Ecco un esempio:<br />
T = { 1, 3, 6, 9, 10, 15, 19, 21 } [8 elementi]<br />
M = { 6, 10, 15 } [3 elementi]<br />
T - M = { 1, 3, 9, 19, 21 } [5 elementi]<br />
<u>Da notare</u> però che T ed M non sono disgiunti stavolta, ma M è incluso in T. Quindi il <b>sottraendo</b> (M) dev'essere associato ad un sottoinsieme dell'insieme del <b>minuendo</b> (T).<br />
<br />
<u><b>Lezione inconclusa!</b></u><i><b></b></i><br />
<br />
<a href="http://scuola.atuttonet.it/matematica/matematica-ed-errori-le-quattro-operazioni.php/comment-page-1#comment-557">Le quattro operazioni</a><br />
<br />
<div style="border: 4px solid rgb(64, 64, 0); color: #100590; text-decoration: blink; width: 140px;">Vota l'articolo:<a _blank="" href="http://www.wikio.it/%20%20target="><script src="http://www.wikio.it/getvote?style=styleold2" type="text/javascript">
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<br />
<a name='more'></a><br />
<dfn>Quindi in linea generale, possiamo dire che un numero è una sequenza di cifre che esprime una quantità di oggetti.</dfn><br />
<br />
Possiamo studiare la nascita e le proprietà dei numeri attraverso gli insiemi e le loro operazioni.<br />
<br />
Ogni insieme, indipendentemente dalla natura di cui sono costituiti i suoi elementi, ha associata una proprietà detta <b>cardinalità</b>. La cardinalità di un insieme è un numero che ci dice di quanti elementi è formato l'insieme stesso, sempre in modo indipendente dalla natura di codesti.<br />
Quindi ad esempio:<br />
A = { cane, gatto, topo, lucertola }<br />
B = { leone, tigre, volpe, ghepardo }<br />
L'insieme A ha quattro elementi, e B anche. Quindi la loro cardinalità è uguale. Questi due insiemi, si dicono anche equipotenti, perchè possono essere messi in corrispondenza biunivoca. L'insieme C risultato da una funzione biiettiva A verso B è il seguente:<br />
C = { (cane, leone), (gatto, tigre), (topo, volpe), (lucertola, ghepardo) }<br />
<br />
<b><u>Lezione inconclusa!!!</u></b><br />
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<br />
<a name='more'></a><br />
Ma cosa sono due insiemi <b>equipotenti</b>? che significa <b>equipotenza</b>?<br />
<br />
<dfn>Per definizione, un insieme A è <b>equipotente</b> ad altro insieme B quando i loro elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca. In questo caso, A e B sono equipotenti.</dfn><br />
<br />
Esempi:<br />
A = { 1, 7, 9, 13 }<br />
B = { cane, gatto, topo, lupo }<br />
C = { 10, 70, 90, 130 }<br />
D = { cagna, gatta, topa, lupa }<br />
E = { tesla, fiat, volkswagen, skoda, audi, bmw, mercedes, ferrari, porche } <br />
Esaminando gli insiemi sopra elencati, possiamo stabilire fra di essi che:<br />
<ul><li>A-B-C-D sono equipotenti fra loro, in quanto possono essere messi in corrispondenza biunivoca.</li>
<li>E non è equipotente a nessuno di essi.</li>
</ul>E perchè l'insieme E non è equipotente agli altri? Da questo possiamo approfondire la regola che stabilisce se due insiemi sono equipotenti o no. Quindi, se noi esaminiamo bene due insiemi, essi possono essere messi in corrispondenza biunivoca soltanto se hanno lo stesso numero di elementi, altrimenti è impossibile. Il numero di elementi di un insieme prende il nome di <b>cardinalità</b>. La cardinalità è una proprietà comune a tutti gli insiemi esistenti.<br />
<br />
Ritornando all'esempio sopra, esaminiamolo anche con argomenti precedenti:<br />
<ul><li>A verso B: potrebbe essere una corrispondenza biunivoca se, ad ogni elemento di A corrisponde un solo elemento distinto in B.</li>
<li>Ma A e C possono formare una corrispondenza biunivoca con una funzione biiettiva definita dal seguente enunciato aperto (con x che appartiene ad A e y a B) p(x, y): «y = 10x»</li>
<li>E B e D possono formare una biunivoca con questa proposizione aperta p(x, y): «y è il femminile di x»</li>
</ul><br />
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<br />
<a name='more'></a><br />
La <b>logica</b> è una scienza che studia il <b>ragionamento</b> e l'<b>argomentazione</b>. Noi esseri umani siamo portati continuamente a fare dei ragionamenti, ad esempio «Per andare in un altro continente, bisogna disporre di un mezzo aereo o via mare». Noi abbiamo la tendenza di dire se quest'affermazione è vera oppure falsa, in base alle attuali tecnologie e mezzi a disposizione. Ma nel futuro quest'affermazione potrà essere falsa. La logica non ha il compito di stabilire se un ragionamento è vero o falso, ma soltanto di verificare se è corretto oppure no.<br />
Ad esempio «Se quell'animale è un gatto, allora può volare» è un'affermazione falsa per noi, in quanto i cani non volano, ma per la logica è corretto questo tipo di ragionamento.<br />
<br />
Esistono vari tipi di logica, noi ne elenchiamo e descriviamo qualcuno:<br />
<ul><li>Logica formale: è una logica attribuita ad un sistema formale (un sistema formale, in informatica o crittografia può prendere il nome di codice, è un sistema di simboli, raggruppati in un alfabeto con cardinalità n, che messi in sequenza possono costruire parole, e le parole diventano corrette se seguono le regole definite dal linguaggio o grammatica del sistema formale / codice)</li>
<li><a href="http://algebradibase.blogspot.com/2011/03/logica-proposizionale.html">Logica proposizionale</a>: è la logica delle proposizioni. Si può intendere come un'entità sottostante alla logica formale, in quanto le proposizioni sono frasi, cioè un insieme di parole messe in sequenza secondo criteri prestabiliti (le regole del linguaggio), in quanto la frase ottenuta deve avere un significato (per il linguaggio) (ad esempio: «Zio mela è suona» è una frase disordinata, senza senso).</li>
<li><a href="http://www.matematicamente.it/esame_di_stato/tesine/dalla_logica_classica_alla_logica_intuizionista_200809233984/">Logica intuizionistica</a></li>
</ul><div style="border: 4px solid rgb(64, 64, 0); color: #100590; text-decoration: blink; width: 140px;">Vota l'articolo:<a _blank="" href="http://www.wikio.it/%20%20target="><script src="http://www.wikio.it/getvote?style=styleold2" type="text/javascript">
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<br />
<a name='more'></a><br />
<b>Definizione di teorema</b>: <br />
<dfn>Un teorema è una frase costituita da due proposizioni o enunciati connessi fra loro dai connettivi logici dell'implicazione o della coimplicazione materiale. Un teorema è una proposizione molecolare.</dfn><br />
<br />
Dire: «Solo gli uccelli volano», è come se avessimo detto «Per volare, bisogna essere uccelli» oppure che «Se un animale vola, è un uccello». Quindi «essere un uccello» è necessario per poter volare, mentre saper volare è sufficiente per essere un uccello. Da tutto questo deduciamo anche che «tutti gli uccelli volano», e questo non è vero. Quindi il ragionamento fatto indietro, parlando sempre di logica, è corretto ma è falso perchè ci sono uccelli che non volano (Struzzo, oca, papera, pinguino, gallina, ...).<br />
<br />
Un teorema può essere espresso mediante implicazione materiale o coimplicazione. La premessa si dice <b>ipotesi</b>, mentre la conseguenza <b>tesi</b>.JuGhttp://www.blogger.com/profile/00720470053828017225noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3245909472628243928.post-89351389853443652172011-03-19T07:11:00.000-07:002011-03-19T07:11:51.898-07:00Condizioni necessarie e sufficientiDati due enunciati z e x, z <span id="search"></span><span id="search">↔</span><span id="search"> x secondo la logica significa che z è <b>condizione necessaria e sufficiente</b> per x, e viceversa.</span><br />
<span id="search"><a name='more'></a></span><br />
<span id="search">La coimplicazione materiale è la stessa implicazione più l'implicazione inversa. Dire che z coimplica x, è come dire che z implica x e x implica z.</span><br />
<span id="search"><br />
</span><br />
<span id="search">Esempi:</span><br />
<span id="search">g: «Maria è mamma»</span><br />
<span id="search">p: «Maria ha almento un figlio»</span><br />
<span id="search">g </span><span id="search"></span><span id="search">↔</span><span id="search"> p: «Maria è mamma <b>se e solo se</b> ha almeno un figlio»</span><br />
<span id="search">Per essere mamma, è sufficiente avere un figlio, ma è anche necessario averlo altrimenti non si è mamma. E viceversa.</span><br />
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<br />
<a name='more'></a><br />
<span id="search">Esempi:</span><br />
<span id="search">r: «Gianni vive a Torino»</span><br />
<span id="search">w: «Gianni tifa juventus»</span><br />
<span id="search">q=r </span><span id="search">→ w: «Se Gianni vive a Torino, allora tifa juventus»</span><br />
<span id="search">Ovviamente non tutte le persone che vivono a Torino tifano juventus, quindi q è falso solo se Gianni vive a Torino e non tifa juventus, negli altri casi è Vero. Nella logica, r </span><span id="search">→ w</span><span id="search"> implica che w sia condizione necessaria per r, ma nella realtà non ha significato, in quanto per vivere a Torino non è necessario tifare juve.</span><br />
<span id="search"><br />
</span><span id="search"></span><br />
<div style="border: 4px solid rgb(64, 64, 0); color: #100590; text-decoration: blink; width: 140px;">Vota l'articolo:<a _blank="" href="http://www.wikio.it/%20%20target="><script src="http://www.wikio.it/getvote?style=styleold2" type="text/javascript">
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<span id="search"><a name='more'></a></span><br />
<span id="search">Ecco degli esempi:</span><br />
<br />
<span id="search">a: «Miao è un gatto»</span><br />
<span id="search">b: «Miao è un felino»</span><br />
<span id="search">a </span><span id="search">→ b: «Se Miao è un gatto, allora è un felino»</span><br />
<span id="search">In sostanza significa che: Miao per essere un felino è sufficiente che sia un gatto. Mentre per essere un gatto, è necessario che sia un felino.</span><br />
<span id="search"><br />
</span><br />
<span id="search">d: «Marco è italiano»</span><br />
<span id="search">s: «Marco è calabrese»</span><br />
<span id="search">s </span><span id="search">→ d</span><span id="search">: «Se Marco è calabrese, allora è italiano»</span><br />
<span id="search">Cioè, per essere italiano è sufficiente essere calabrese, ma per essere calabrese è necessario essere italiano.</span><br />
<br />
<span id="search">d </span><span id="search">→ s: «Se Marco è italiano, allora è calabrese»</span><br />
<span id="search">Quì le cose cambiano, in logica questo ragionamento è <b>corretto</b> indipendentemente dal fatto che sia vero o falso, in quanto si tratta soltanto di due enunciati connessi da un connettivo logico. Ma nella realtà è un ragionamento errato, in quanto essere italiani non significa che si dev'essere anche calabresi, quindi se s è falso, d </span><span id="search">→ s è falso anche</span><span id="search">.</span><br />
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Prendendo <i>n</i> elementi dall'insieme A, anche ripetuti, se li disponiamo in sequenza abbiamo dato vita ad un numero che a sua volta secondo determinate regole aritmetiche rappresenta una quantità di oggetti.<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
Ecco delle sequenze di cifre: 124, 895, 21, 7, 993, 567, 33188. Ogni sequenza è un numero e rappresenta appunto una quantità, inoltre bisogna notare che non si può rappresentare un numero mediante un insieme matematico poichè secondo la teoria degli insiemi, un insieme non può contenere elementi ripetitivi e l'ordine in cui sono disposti è indifferente. (ad es: l'insieme A = { 9, 9, 3 } non ha senso, poichè l'elemento 9 viene ripetuto e l'ordine può essere cambiato, e rappresenta comunque sempre lo stesso insieme, quindi B = { 3, 9 } è uguale ad A.<br />
<br />
Elencare tutti gli elementi di un insieme numerico, non è conveniente in quanto i principali insiemi numerici hanno infiniti elementi.<br />
<br />
Per determinare un insieme numerico, come tutti gli insiemi esistenti, dobbiamo prima determinare i suoi elementi o mediante elencazione o mediante proprietà caratteristica.<br />
<br />
Se vogliamo usare numeri per esprimere quantità dobbiamo creare delle regole che permettono di stabilire tali quantità. Ad esempio, l'elemento 0 dell'insieme <b>Alfa</b> esprime una quantità nulla, cioè il niente («Io ho 0 mele» equivale a «io non ho mele»); mentre l'elemento 1 esprime una quantità equivalente ad un singolo oggetto; e così via... tutti noi comunque sappiamo la quantità che rapresenta ogni singola cifra. Se abbiamo bisogno di contare più di 9 oggetti, non possiamo usare una singola cifra, quindi ci sono delle regole che permettono di esprimere infinite quantità.<br />
Ripetendo, i numeri sono sequenze di cifre, ogni cifra è contenuta in una casella e la quantità che rappresenta la cifra dipende dalla posizione della casella nella sequenza. Andando da destra verso sinistra, ogni casella successiva rappresenta una quantità maggiore moltiplicata per 10 (cardinalità dell'insieme <b>Alfa</b>), e questa è una regola fondamentale che ci fornisce un sistema di numerazione per rappresentare delle quantità. Quindi, possiamo dire che la prima casella rappresenta le unità, la seconda le decine, la terza le centinaia, la quarta le migliaia, ecc...<br />
<br />
<b><span style="color: #38761d;">Esempi</span></b>:<br />
Dato il numero 673, la casella delle unità contiene la cifra 3, quindi abbiamo già rappresentato 3 unità (oggetti, case, alberi, cani, libri, computer...), la casella delle decine ha il numero 7 che dovrebbe rappresentare 7 unità, ma siccome dobbiamo attenerci alle specifiche del nostro sistema numerico, il numero sette viene moltiplicato per 10, divenendo 70. E così continuando, costruiamo il numero.<br />
<br />
Gli insiemi dei numeri si distinguono per l'intervallo e per alcune proprietà. Sono i seguenti:<br />
<ul><li>L'insieme dei Numeri Naturali (N), che ha per elementi i numeri che esprimono <b>quantità naturali</b>, quindi dallo 0 (assenza di quantità o quantità nulla) all'infinito (∞).</li>
<li>L'insieme dei Numeri Interi (Z), detti anche relativi, con intervallo (-∞, +∞) che ha in mezzo lo 0, prima dello zero i numeri negativi con segno - e dopo dello zero quelli positivi con segno +. In sintesi, i numeri positivi definiscono quantità che abbiamo, mentre quelli negativi quantità che ci mancano (che non abbiamo). (Es: «A me mancano due mele» è equivalente a «io ho -2 mele»).</li>
<li>L'insieme dei Numeri Razionali (Q), che sono numeri rappresentabili mediante frazioni.</li>
<li>L'insieme dei Numeri Reali (R) che raggruppa tutti i numeri rappresentabili.</li>
</ul><b>Articolo <u>da concludere</u></b>.<br />
<div style="border: 4px solid rgb(64, 64, 0); color: #100590; text-decoration: blink; width: 140px;">Vota l'articolo:<a _blank="" href="http://www.wikio.it/%20%20target="><script src="http://www.wikio.it/getvote?style=styleold2" type="text/javascript">
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<i>Dati due insiemi A e B, tra essi c'è una corrispondenza biunivoca quando per una funzione ogni elemento di A ha un'immagine in B, e ogni elemento di B ha una controimmagine in A.</i><br />
<br />
<a name='more'></a><br />
Quindi due insieme possono essere messi in corrispondenza biunivoca soltanto quando hanno lo stesso numero di elementi (cardinalità).<br />
<br />
Di solito una relazione è un insieme di coppie generate da una proposizione aperta a due variabili p(x, y), diventa una funzione quando ogni elemento del primo insieme è presente in almeno una coppia, diventa una corrispondenza biunivoca quando ogni elemento del primo o secondo insieme è presente in una coppia soltanto.<br />
<br />
Ecco un esempio:<br />
A = { A, B, C, D }<br />
B = { 1, 2, 3, 4, 5 }<br />
Con la seguente funzione iniettiva (corrispondenza univoca):<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://lh4.googleusercontent.com/-uf8b96cRAQs/TYOYrR1_auI/AAAAAAAAABA/mUQbh2h39jA/s1600/Funzione.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Questa è una funzione matematica fra due insiemi" border="0" height="320" src="https://lh4.googleusercontent.com/-uf8b96cRAQs/TYOYrR1_auI/AAAAAAAAABA/mUQbh2h39jA/s320/Funzione.jpg" width="320" /></a></div><br />
E la seguente funzione biiettiva (corrispondenza biunivoca):<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://lh3.googleusercontent.com/-KfR2hJPZMX0/TYOZ4FWXW5I/AAAAAAAAABE/dsmSDYS4yaM/s1600/biunivoca.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Funzione biiettiva che crea una corrispondenza biunivoca fra due insiemi matematici" border="0" height="320" src="https://lh3.googleusercontent.com/-KfR2hJPZMX0/TYOZ4FWXW5I/AAAAAAAAABE/dsmSDYS4yaM/s320/biunivoca.jpg" width="320" /></a></div>Analizzando le due funzioni nelle immagini deduciamo che:<br />
<ol><li>Nella prima la corrispondenza è univoca e la funzione è iniettiva, perchè il dominio della funzione corrisponde all'insieme A stesso e ogni elemento x di A ha un'immagine distinta in B.</li>
<li>Nella seconda la corrispondenza è biunivoca e la funzione è biiettiva, in quanto anche il codominio corrisponde a B e ogni elemento ha associato un solo elemento distinto nell'altro insieme.</li>
</ol>Ecco alcuni <b>esempi pratici</b>: <br />
<ol><li>L'alfabeto binario è costituito da B = { 0, 1 }, e un segnale per essere interpretato dalla cpu o da qualsiasi circuito elettronico, dev'essere tradotto in un segnale elettrico con voltaggio, ad esempio il voltaggio 0 corrisponde allo 0 binario, e il voltaggio 5 corrisponde all'1 binario. Abbiamo creato una corrispondenza biunivoca fra L'alfabeto binario B = { 0, 1 } e l'insieme dei valori di tensione del circuito considerato V { 0, 5 }.</li>
<li>Una funzione biiettiva più complessa può formarsi fra due classi di una scuola, 1B e 2C. 1B = { Marco, Giovanni, Michele, Lorenzo, Angela, Vanessa, Isabella } e 2C { Maria, Francesco, Anna, Francesca, Giuseppe, Simone, Luca }, con una relazione R : A <span id="search">→ B data da p(x, y): «x è dello stesso sesso di y» con x </span>∈ A e y ∈ B. R può essere considerata una funzione biiettiva, infatti esaminate l'insieme delle coppie che si ottiene, analizzate il dominio, il codominio, e la corrispondenza che si crea.</li>
<li>Tra due automobili (Fiat Punto e Volkswagen Golf), se consideriamo l'insieme dei pezzi standard della prima e della seconda (cioè che ogni auto deve avere. Ad esempio: ruota anteriore sinistra, anteriore destra, posteriore sinistra, ecc...), possiamo effettuare una corrispondenza biunivoca fra gli insiemi poichè ogni automobile deve avere quei pezzi. Ma se consideriamo l'insieme totale dei pezzi di ogni automobile, non avremo più una corrispondenza biunivoca, e forse neanche una funzione.</li>
</ol><ol></ol><br />
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<br />
Un predicato è una frase di senso compiuto che in via generale individua una<br />
<a name='more'></a>caratteristica degli elementi di un insieme, raggrupandoli, esso si indica con una lettera minuscola, i due punti e le virgolette dove all'interno abbiamo la frase (ad es: p: «frase»). Le operazioni che si possono fare con i predicati sono: <b>negazione</b>, <b>congiunzione</b> e <b>disgiunzione</b> (<b>inclusiva</b>).<br />
Dato i seguenti predicati q: «il gatto è un felino» e g: «il cane non è un mammifero» possiamo dire che:<br />
<ul><li>La negazione di q si indica con ¬q o <span style="text-decoration: overline;">q</span> e lo stesso vale per g</li>
<li>La congiunzione di q e g si indica con q ∧ g (e si legge 'q e g')</li>
<li>La disgiunzione di q e g si indica con q ∨ g (e si legge 'q o g')</li>
</ul>Ora possiamo darvi alcuni esercizi per capire meglio:<br />
<br />
<b>1) <span style="color: red;">Dalle seguenti operazioni logiche sui predicati, determina il risultato (il predicato ottenuto)</span></b><br />
<br />
<b>Esempi</b>:<br />
p: «Maria è andata al mare».<br />
d: «Giovanna ha seguito Maria».<br />
¬p: «Maria non è andata al mare».<br />
¬d: «Giovanna non ha seguito Maria».<br />
q = p ∧ d, cioè q: «Giovanna è andata al mare con Maria» <br />
e = p ∨ d, quindi e: «Maria è andata al mare o Giovanna è andata con Maria» (da quì si deduce che il predicato 'e' è falso solamente se p e q sono falsi, in tutti gli altri casi è vero).<br />
u = p ∧ <span style="text-decoration: overline;">d</span>, cioè u: «Maria è andata al mare e Giovanna non l'ha seguita»<br />
<br />
<b>Predicati</b>:<br />
<br />
a: «Il treno non è fermo»<br />
b: «Il gatto è un felino»<br />
c: «Il treno è chiuso»<br />
d: «La mela è rossa»<br />
e: «Il mio sito è molto visitato»<br />
f: «mia cugina è malata»<br />
g: «Il gatto è più piccolo del cane»<br />
h: «La mela è gialla»<br />
i: «mia cugina fà finta di essere malata» <br />
<br />
<b>Determina ora il valore di verità e la frase ottenuta delle seguenti operazioni logiche sui predicati</b>:<br />
<br />
a ∧ c<br />
b ∧ g<br />
d ∨ h<br />
<span style="text-decoration: overline;">e</span><br />
f ∨ i<br />
<ul></ul><div style="width: 140px; border: 4px solid rgb(64, 64, 0); color: #100590; text-decoration: blink;">Vota l'articolo:<a _blank="" href="http://www.wikio.it/%20%20target="><script src="http://www.wikio.it/getvote?style=styleold2" type="text/javascript">
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Le principali operazioni tra insiemi sono: negazione o complementazione, intersezione, unione, differenza (poi abbiamo anche il prodotto cartesiano e altre).<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
Se avete ben chiaro il concetto di insieme, sottoinsieme, predicato, e operazioni fra predicati ed insiemi, possiamo ora proporvi degli esercizi sulle operazioni tra insiemi: <br />
<br />
N. 1<br />
Dati i seguenti insiemi: <br />
A = { Francesco, Gianluca, Costanzo, Angela, Marco }<br />
B = { Alessandra, Giuseppe, Francesco, Cosimo, Marco, Flavia, Christian }<br />
C = {Gianmarco, Costanzo, Gianluca, Marco, Eva, Milly }<br />
D = { Milly, Angela, Eva, Cosimo, Ferdinando, Maria }<br />
E = { Flavia, Luciana, Rocco, Domenico, Marilena }<br />
E le seguenti operazioni su di essi:<br />
A ⋂ C<br />
A ⋂ B<br />
D ⋂ E<br />
A <span id="search"></span>⋃ D<br />
A <span id="search"></span>⋃ C<br />
¬C<br />
¬E<br />
C - B<br />
A - C<br />
E - B<br />
<br />
Determina i sottoinsiemi risultati da ogni operazione sopra, oppure puoi provare tutte le operazioni possibili.JuGhttp://www.blogger.com/profile/00720470053828017225noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3245909472628243928.post-88004248096787414232011-03-13T13:28:00.000-07:002011-03-13T13:52:49.583-07:00Esercizi sulle proposizioniEcco un elenco di esercizi sulle proposizioni logiche.<br />
<br />
<br />
<b>Riepilogo</b>:<br />
<br />
Sia i predicati che le proposizioni sono frasi di senso compiuto per le quali è possibile stabilire se sono vere o false, secondo la scienza della logica. <br />
<br />
<a name='more'></a><br />
La differenza tra predicato e proposizione sta nel fatto che un predicato è una frase di senso compiuto che individua una caratteristica degli elementi di un insieme, raggruppandoli in un altro insieme o nell'insieme stesso preso in considerazione. Mentre una proposizione è una frase costituita da un predicato posto tra due elementi di qualche insieme, che prendono il nome di argomenti. Gli argomenti possono essere costanti o variabili, se sono variabili significa che possono indicare un qualsiasi elemento di un dato insieme.<br />
<br />
<b>Esercizi</b>:<br />
<div style="color: blue;"><br />
</div><div style="border: 3px solid rgb(69, 120, 101);"><span style="color: blue;">Determina se le seguenti frasi sono proposizioni, predicati o nessuno dei due, indipendentemente dal fatto che siano vere (V) o false (F)</span>:<br />
<br />
<ol><li>Daniele è giovane.</li>
<li>Silvio è il fidanzato di Maria.</li>
<li>Il treno va veloce.</li>
<li>Christian ama Giulia.</li>
<li>La pizza fà schifo.</li>
<li>Gianluca odia il mare.</li>
<li>2 è un numero pari.</li>
<li>5 è minore di 2 (5 < 2).</li>
<li>Mia sorella ha 30 anni.</li>
<li>Berlusconi è un signor presidente.</li>
<li>La tesla roadster rispetto alla ferrari ff è un'auto elettrica.</li>
<li>Gianni ha sbagliato con te.</li>
<li>Las Vegas è più ricca di Dubai.</li>
<li>Come si fa la pizza?</li>
<li> Dove si trova Dubai?</li>
</ol></div><br />
<div style="border: 3px solid rgb(69, 120, 101);"><span style="color: blue;">Definiti i seguenti insiemi</span>:<br />
<br />
A = { x ∈ N | 12 < x < 34 }<br />
D = { x ∈ Q | x < 89 }<br />
F = { x ∈ N<sub>0</sub> | x < 10 }<br />
<div style="color: blue;"><br />
</div><span style="color: blue;">E dati i seguenti predicati o proposizioni</span>:<br />
<br />
p: «x < 14»<br />
f: «x > 88»<br />
g(x, y): «x precede y»<br />
t: «x è pari»<br />
z(x): «x è ≥ 0»<br />
<br />
<span style="color: blue;">Determina un sottoinsieme per ogni frase, tenendo conto del fatto che non sempre una proposizione individua un sottoinsieme, mentre un predicato sì, anche se può essere vuoto.</span><br />
Nota: l'insieme N è l'insieme dei numeri naturali (interi positivi), mentre invece N<sub>0 </sub> è l'insieme N privato dello 0. Il primo quindi ha intervallo (0, + ∞ infinito), il secondo invece (1, + ∞ infinito).</div>JuGhttp://www.blogger.com/profile/00720470053828017225noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-3245909472628243928.post-4888361399630603762011-03-08T14:12:00.000-08:002011-03-10T06:42:57.226-08:00Prodotto cartesiano di insiemiIl prodotto cartesiano di insiemi è un operazione binaria in cui gli operandi sono gli insiemi e l'operatore è «x». Dati sue insiemi A e B, il prodotto cartesiano di A e B si indica A x B.<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
Il prodotto cartesiano A x B restituisce un insieme i cui elementi sono <b>coppie ordinate</b>, premesso che x appartenga ad A e y a B, un generico elemento dell'insieme A x B è (x, y), cioè una coppia ordinata costituita da un elemento (x) del primo insieme (A) e da un elemento (y) del secondo (B).<br />
<br />
Ecco una rappresentazione:<br />
A x B = { (x, y) | x ∈ A e y ∈ B }<br />
<br />
Per chi conoscesse le <a href="http://algebradibase.blogspot.com/2011/02/relazione-matematica-di-coppie.html">relazioni</a> e le <a href="http://algebradibase.blogspot.com/2011/03/funzione-matematica.html">funzioni</a> matematiche, possiamo dire che il prodotto cartesiano A x B è una relazione R: A verso B, più precisamente una funzione F: A verso B, in quanto ogni elemento di A ha un'immagine in B. Quindi qualsiasi relazione (o funzione) esistente di due insiemi, non è altro che un sottoinsieme del prodotto cartesiano degli insiemi operandi.<br />
<br />
Ecco un esempio:<br />
A = { a, b, c, d, e, f, g, h, i }<br />
B = { l, m, n, o, p, q, r, s, t }<br />
Data una relazione R : A verso B<br />
Da una proposizione aperta p(x, y): «x ∈ A e y ∈ B» con x ∈ A e y ∈ B<br />
Abbiamo come risultato della relazione l'insieme delle coppie ordinate (x, y), ogni coppia appartiene a R se il primo elemento appartiene ad A e il secondo appartiene a B, quindi l'insieme delle coppie risulta essere il prodotto cartesiano A x B, che possiamo indicare con C.<br />
<br />
<u>Dettagli aggiuntivi</u>: Fra A e B dell'esempio è possibile stabilire una <b>corrispondenza biunivoca</b> in quanto A e B hanno la stessa cardinalità (stesso numero di elementi), quindi sono <b>equipotenti</b>.<br />
<br />
Potete approfondire ancora l'operazione del prodotto cartesiano quì: <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_cartesiano">Prodotto cartesiano - Wikipedia</a>.<br />
<div style="border: 5px solid red; width: 90px;">Vota l'articolo su Upnews<br />
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<br />
<a name='more'></a><br />
Il nostro sistema di numerazione è a base 10 perchè contiamo formando gruppi di 10 unità, le decine. In ogni numero, la prima cifra a destra prende il nome di <b>unità</b> (<span style="color: blue;">u</span>), la seconda da destra verso sinistra si chiama <b>decina</b>(<span style="color: red;">da</span>), quindi le decine sono a sinistra delle unità. Le <b>centinaia</b>(<span style="color: lime;">h</span>) si scrivono subito a sinistra delle decine, quindi da destra verso sinistra occupano il terzo posto.<br />
<br />
10 unità formano 1 decina. 10 decine formano un centinaio, 10 centinaia formano un <b>migliaio</b>.<br />
<br />
Esempi:<br />
341 - 1 unità, quattro decine, 3 centinaia.<br />
12 - 2 unità, 1 decina<br />
783 - 3 unità, 8 decine, 7 centinaia<br />
4269 - 9 unità, 6 decine, 2 centinaia, 4 migliaia<br />
<br />
<a href="http://algebradibase.blogspot.com/2011/03/i-numeri-naturali.html">precedente</a> --- successivaJuGhttp://www.blogger.com/profile/00720470053828017225noreply@blogger.com5tag:blogger.com,1999:blog-3245909472628243928.post-18246982792398148182011-03-08T09:04:00.000-08:002011-03-08T09:26:02.283-08:00I numeri naturaliCome abbiamo detto, anticamente ogni popolo aveva un proprio modo di contare, civiltà molto sviluppate facevano uso di un sistema di numerazione (i Romani usavano quello Romano, gli arabi quello Arabo, e così via...) oggi il nostro sistema di numerazione è quello arabo, costituito da 10 simboli detti <b>cifre</b>.<br />
<br />
I numeri sono formati da<br />
<a name='more'></a>una o più cifre disposti in sequenza: 2, 34, 89, 123...<br />
Si chiamano numeri naturali e sono infiniti. Infatti possiamo scrivere una sequenza di numeri che non finisce mai, aggiungendo sempre una cifra al numero considerato, aggiungendo invece 1 otteniamo sempre un numero maggiore del precedente.<br />
<br />
Una successione è in ordine crescente quando le cifre di cui è formata vanno dal minore al maggiore. È invece in ordine decrescente quando vanno dal maggiore al minore.<br />
<br />
<a href="http://algebradibase.blogspot.com/2011/03/imparare-contare.html">precedente</a> ----- <a href="http://algebradibase.blogspot.com/2011/03/valore-posizionale-delle-cifre.html">successivo</a>JuGhttp://www.blogger.com/profile/00720470053828017225noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3245909472628243928.post-71147017044589246932011-03-08T08:53:00.000-08:002011-03-08T09:06:28.565-08:00Imparare a contareFin dai tempi più antichi, quando i primi uomini iniziarono a popolare la Terra, contare fu una necessità. I primi pastori ad esempio, avevano la necessità di sapere quante pecore possedeva il loro gregge, e quindi iniziarono a contarle segnando in un bastone una tacca, ogni tacca rappresentava un animale.<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
Ma se le pecore iniziavano ad essere molte, un bastone non bastava!<br />
<br />
Quindi inventavano un nuovo <b>simbolo</b> con il quale indicare un gruppo di dieci animali, ad esempio un cerchio, e così via.<br />
<br />
Altri modi per contare furono le dita delle mani, ogni mano come sappiamo da sempre ha cinque dita, e per indicare cinque oggetti si diceva "una mano di oggetti", oppure "due mani", oppure "un uomo", per indicare dita di mani e piedi, cioè venti.<br />
<br />
Piano piano con l'evoluzione la necessità di contare le cose o gli oggetti, divenì sempre più evidente e con il passare del tempo ogni antica civiltà diede vita ad un <b>sistema di numerazione</b> costituito da simboli.<br />
<br />
Ecco una filastrocca sui numeri:<br />
<pre>1 ora dorme il gallo
2 ore il cavallo
3 il viandante
4 ore l'ambulante
5 il prelato
6 ore il magistrato
7 lo studente
8 ore tutta la gente
9 la signoria
10 ore la poltroneria!
</pre><br />
precedente --- <a href="http://algebradibase.blogspot.com/2011/03/i-numeri-naturali.html">successivo</a>JuGhttp://www.blogger.com/profile/00720470053828017225noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-3245909472628243928.post-30549472496061004332011-03-08T05:30:00.000-08:002011-03-08T05:30:57.416-08:00Algebra scuola mediaLezioni, ripasso ed esercizi di algebra per la scuola media.<br />
<ul><li>1</li>
</ul>JuGhttp://www.blogger.com/profile/00720470053828017225noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3245909472628243928.post-21281407801140536532011-03-08T05:27:00.000-08:002011-03-08T09:08:33.600-08:00Aritmetica per bambiniEcco un elenco di lezioni di aritmetica per bambini. Tengo presente che è anche un suggerimento di programmazione per scuole primarie.<br />
<ol><li><a href="http://algebradibase.blogspot.com/2011/03/imparare-contare.html">Imparare a contare</a></li>
<li><a href="http://algebradibase.blogspot.com/2011/03/i-numeri-naturali.html">I numeri naturali</a></li>
</ol><br />
<br />
<ul><li>1</li>
</ul>JuGhttp://www.blogger.com/profile/00720470053828017225noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3245909472628243928.post-50636687095352021332011-03-06T13:13:00.000-08:002011-03-06T13:52:43.934-08:00Studiare la matematica da autodidattaÈ possibile studiare la matematica anche da <br />
soli, se si vuole raggiungere determinati obiettivi. È obbligatorio incominciare dalle basi, ad esempio si può partire dai pilastri dell'algebra che sono: Insiemi, Logica, Relazioni e Funzioni. Questi quattro argomenti dell'algebra sono fondamentali per capire bene quelli successivi. Se volete apprendere molto bene questi concetti non dovete seguire un preciso <br />
<a name='more'></a>schema o metodo di studio, ma semplicemente dovete cercare di capire sempre meglio quello che leggete ed applicarlo subito con numerosi esempi, esercizi svolti, esercizi guidati ed esercitazioni da soli. Lo studio si divide in due fasi: "<b>capire</b>" e "<b>applicare</b>". Una volta capito, bisogna applicare il più possibile, e poi ritornare a leggere per capire sempre meglio e poi riapplicare ancora. La forza di volontà e la passione sono la "benzina", bisogna fare sempre il pieno ma attenzione ad eccedere, perchè altrimenti il motore vi lascia per strada, ogni tanto cambiateci le gomme e fategli un controllo, non bisogna mai sfruttare se stessi.<br />
<br />
L'aritmetica è una branca della matematica che studia le proprietà fondamentali delle operazioni sui numeri (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione), pertanto l'aritmetica è molto utile in ambiti finanziari-economici ma anche per allenare la mente con gli algoritmi sin dalla prima infanzia. Essa è una scienza molto antica, ed è uno dei primi concetti che i bambini devono conoscere.<br />
<br />
Il mio blog ha lo scopo di condividere la matematica online velocemente ed il meglio possibile senza troppe complessità e non ho l'intenzione di attirare migliaia di visitatori inutili, preferisco la qualità e non la quantità.JuGhttp://www.blogger.com/profile/00720470053828017225noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-3245909472628243928.post-90748213833961202252011-03-06T06:10:00.000-08:002011-03-06T13:56:35.858-08:00Funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva.Innanzitutto iniziamo col dire che non si scrive biettiva, ma biiettiva (con due i).<br />
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Le funzioni come sappiamo sono relazioni che generano una corrispondenza univoca fra due insiemi, in quanto ogni elemento del primo insieme ha associato un solo elemento nel secondo, ma non è necessariamente vero l'incontrario.<br />
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Una relazione di tipo funzione fra due insiemi A e B da vita quindi a una <b>corrispondenza</b>. Le corrispondenze possono essere di vario tipo:<br />
<a name='more'></a><ul><li><dfn><b>uno a molti</b>:</dfn> Ogni elemento x di A può avere più immagini y in B</li>
<li><dfn><b>molti a uno</b>:</dfn> Ogni elemento y di B può avere più controimmagini x in A</li>
<li><dfn><b>uno a uno</b>:</dfn> Ogni elemento x di A ha una sola immagine y in B e vale anche il contrario.</li>
<li><dfn><b>molti a molti</b>:</dfn> Ogni elemento x di A può avere più immagini y in B e questi ultimi posson avere più controimmagini x in A.</li>
</ul> In base alla corrispondenza che genera una funzione, possiamo dire quale proprietà soddisfa fra le seguenti:<br />
<ul><li>Una funzione si dice <b>suriettiva</b> quando il codominio corrisponde all'insieme B, quindi ogni elemento di B ha una controimmagine in A.</li>
<li>Una funzione si dice <b>iniettiva</b> quando elementi distinti di A, hanno immagini distinte in B, quindi ad ogni elemento può essere associato un solo altro elemento che non sia stato associato ad un altro ancora.</li>
<li>Una funzione si dice <b>biiettiva</b> quando è suriettiva e iniettiva contemporaneamente. Quindi tutti gli elementi di A hanno immagini distinte in B e tutti gli elementi di B hanno controimmagini distinte in A. Quindi è iniettiva, ma anche suriettiva perchè nessun elemento rimane inassociato.</li>
</ul>Una funzione iniettiva o biiettiva è una corrispondenza di tipo "uno a uno", mentre una suriettiva può essere di vario tipo.<br />
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Esempi di funzioni:<br />
1) In una squadra di calciatori, ogni calciatore ha un numero che lo identifica sul campo da calcio. Quindi abbiamo l'insieme A dei calciatori, e l'insieme B nei numeri naturali da 1 a 30. Ad ogni calciatore deve corrispondere per forza un numero, quindi è una funzione, in quanto ogni elemento di A deve avere un'immagine in B. Poi sappiamo che un calciatore ha associato un solo numero identificativo diverso dagli altri giocatori, quindi la funzione è iniettiva poichè la corrispondenza è uno a uno. Se una squadra raggiunge il numero massimo di giocatori, nel nostro caso 30, la funzione diventa anche suriettiva, poichè ad ogni numero corrisponde un giocatore diverso. La funzione essendo iniettiva e suriettiva, diventa automaticamente biiettiva.<br />
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2) Abbiamo l'insieme A che contiene tutti i tipi di automobili d'Italia e l'insieme T che contiene tutte le targhe possibili. Dato un insieme I che contiene tutte le automobili immatricolate, ed una relazione R che associa ad ogni elemento x di I un solo elemento distinto y di T, possiamo dire che R è una funzione perchè ogni auto immatricolata deve avere una targa. Poi sappiamo che ad ogni auto immatricolata corrisponde una sola targa distinta dalle altre, quindi la funzione è iniettiva. Ed infine però sappiamo che non tutte le targe dell'insieme T sono associate ad un'automobile dell'insieme I, quindi la funzione non è suriettiva, e nemmeno biiettiva.<br />
<ul></ul>JuGhttp://www.blogger.com/profile/00720470053828017225noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-3245909472628243928.post-41229053724329106682011-03-05T09:26:00.001-08:002011-03-06T13:55:46.927-08:00Funzione in matematicaGli insiemi, la logica e le relazioni sono un argomento importante in matematica e non solo, in quanto si ripresentano nella vita di tutti i giorni, nel lavoro e nello studio di qualsiasi materia. <br />
Poi ci sono un tipo particolare di relazioni, dette <b>funzioni</b>, Le funzioni hanno un'importanta capitale nell'analisi matematica, statistica e probabilità, informatica, chimica ecc.<br />
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<b>Requisiti</b> per studiare bene le funzioni:<br />
Insiemi, operazioni con gli insiemi, Logica delle proposizioni, Operazioni logiche, Relazioni e proprietà delle relazioni.<br />
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<a name='more'></a><br />
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Cosa sono le funzioni?<br />
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Una <b>funzione</b> è una relazione da A verso B la quale ha per dominio l'insieme A stesso e per codominio un sottoinsieme proprio o improprio di B (cioè tutti o alcuni elementi di B). Quindi ogni elemento x che appartiene ad A ha almeno un'immagine y in B, mentre tutti o alcuni y di B hanno una controimmagine in A. Una relazione di questo tipo si dice funzione o applicazione di A in B.<br />
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Esempi:<br />
A = { x è uno studente dell'ITC }<br />
B = { x appartiene ad A | x è un alunno della 3A }<br />
C = { x appartiene ad N | x è minore o uguale a 10 }<br />
Tutti gli alunni di un istituto sono raggruppati in corsi o sezioni, ogni corso o sezione è raggruppato in classi (classi di equivalenza), ogni classe contiene almeno un alunno. Abbiamo costituito una partizione dell'insieme A. Ora, una specifica classe, la 3A, rappresentata dall'insieme B, decide di partecipare ad un corso di inglese dal quale otterranno un punteggio finale compreso fra 0 e 10, ogni punteggio è un elemento dell'insieme B. È una funzione soltanto se tutti gli elementi di B partecipano al corso ottenendo un punteggio, anche nullo, ma lo ottengono, quindi ogni elemento di B ha una sola immagine in C. In questo caso, sì.<br />
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In più dobbiamo aggiungere che una funzione è una relazione fra due insiemi la quale dà vita ad una <b>corrispondenza</b> <b>univoca</b>.<br />
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Proprietà delle funzioni.JuGhttp://www.blogger.com/profile/00720470053828017225noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-3245909472628243928.post-77770175104192880532011-03-04T07:49:00.000-08:002011-03-06T13:56:58.195-08:00L'insieme universoNella <b>teoria degli insiemi</b>, l'<b>insieme universo</b>, indicato con <span style="font-family: "Courier New",Courier,monospace;">U</span>, è l'insieme che contiene tutti gli insiemi esistenti. Ogni insieme esistente, è un sottoinsieme dell'insieme universo, quindi possiamo dire che <span style="font-family: "Courier New",Courier,monospace;">U</span> contiene <i>anche</i> tutti gli elementi esistenti. Ogni insieme è incluso in <span style="font-family: "Courier New",Courier,monospace;">U e U <span style="font-family: inherit;">include tutti gli insiemi</span></span>.<br />
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Proprietà dell'insieme universo:<br />
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<ul><li>L'insieme universo è <a href="http://dizionari.corriere.it/dizionario_italiano/U/univoco.shtml">univoco</a></li>
<li>Include tutti gli altri insiemi esistenti</li>
<li>Ogni elemento appartiene ad <span style="font-family: "Courier New",Courier,monospace;">U </span></li>
<li>L'unione di un insieme con l'insieme universo è l'insieme universo stesso</li>
<li>L'intersezione di un insieme A con l'insieme universo è l'insieme A stesso</li>
<li>L'unico insieme che contiene l'insieme universo è l'insieme universo stesso</li>
</ul>Si dice che l'insieme universo è univoco poichè non è corretto indicarlo con "un insieme universo", poichè è uno solo e quindi si dice "l'insieme universo".<br />
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Ovviamente l'insieme universo contiene anche se stesso e l'insieme vuoto. Cioè <span style="font-family: "Courier New",Courier,monospace;">U</span> e { }.<br />
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Fonte: <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_universo">Wikipedia - insieme universo in algebra</a>JuGhttp://www.blogger.com/profile/00720470053828017225noreply@blogger.com0