Proposizioni in matematica

Le proposizioni in algebra vengono usate per determinare e operare con gli insiemi.

Noi sappiamo che per esprimere la caratteristica di un oggetto è necessaria una frase, ma codesta frase può essere chiamata predicato se è possibile attribuirgli un valore di verità in base ad un ragionamento logico.
Questi sono esempi di predicati:
p: «io sono amico tuo», f: «mia sorella pesa 55 kg», c: «papa ha i capelli bianchi»
Questi invece non sono predicati:
o: «chi sono i tuoi amici?», r: «domani vengo a trovarti» q: «gianna è bella»
p, f e c sono predicati perchè è possibile dire se sono vere o false. o, r e q non sono predicati perchè non ha senso in logica attribuirgli un valore di verità.



Se la frase contiene argomenti collegati da predicati prende il nome di proposizione o enunciato. Il numero di argomenti è variabile così come il numero di predicati, ma in genere per essere meno ambigui ci vogliono almeno due argomenti e un predicato che li confronta.

Viene chiamata proposizione aperta o enunciato aperto se gli argomenti non sono concreti ma incognite, cioè variabili. In base a un enunciato aperto possiamo dare vita a una relazione o funzione matematica di un insieme.
Esempi di proposizioni aperte:
p(x): «x è un mammifero», t(x, y): «x precede y», u(x, y, z): «x è minore di y e y è minore di z»
Potete notare che nell'enunciato u, sono presenti due predicati uniti dal connettivo e, che in logica rappresenta l'operazione di congiunzione. Significa che u è vera soltanto se sono veri entrambi i predicati.

Una proposizione può essere atomica o molecolare. Atomica se è costituita da un solo enunciato, molecolare se formata da due o più enunciati, connessi sempre dai connettivi logici (I connettivi logici vengono impiegati per le operazioni logiche). I connettivi logici costituiscono le operazioni logiche che vedremo in articoli successivi.
Esempi di proposizione molecolare:
p(x, y): «x ha lo stesso colore di y», g(x, y): «se x è un mammifero, allora non è un uccello»