21 mar 2011

Logica in algebra (Cos'è la logica?)

In molti, studiando libri di testo di algebra, si vedono difronte argomenti del tutto estranei al concetto stesso di matematica. Un esempio ne sono i predicati sugli insiemi, le proposizioni o enunciati e/o aperti, e le operazioni logiche (negazione, congiunzione, disgiunzione inclusiva, disgiunzione esclusiva, implicazione materiale, coimplicazione materiale). Tuttavia la logica è la base dell'algebra e dell'aritmetica, poichè da essa derivano tutte le branche della matematica.


La logica è una scienza che studia il ragionamento e l'argomentazione. Noi esseri umani siamo portati continuamente a fare dei ragionamenti, ad esempio «Per andare in un altro continente, bisogna disporre di un mezzo aereo o via mare». Noi abbiamo la tendenza di dire se quest'affermazione è vera oppure falsa, in base alle attuali tecnologie e mezzi a disposizione. Ma nel futuro quest'affermazione potrà essere falsa. La logica non ha il compito di stabilire se un ragionamento è vero o falso, ma soltanto di verificare se è corretto oppure no.
Ad esempio «Se quell'animale è un gatto, allora può volare» è un'affermazione falsa per noi, in quanto i cani non volano, ma per la logica è corretto questo tipo di ragionamento.

Esistono vari tipi di logica, noi ne elenchiamo e descriviamo qualcuno:
  • Logica formale: è una logica attribuita ad un sistema formale (un sistema formale, in informatica o crittografia può prendere il nome di codice, è un sistema di simboli, raggruppati in un alfabeto con cardinalità n, che messi in sequenza possono costruire parole, e le parole diventano corrette se seguono le regole definite dal linguaggio o grammatica del sistema formale / codice)
  • Logica proposizionale: è la logica delle proposizioni. Si può intendere come un'entità sottostante alla logica formale, in quanto le proposizioni sono frasi, cioè un insieme di parole messe in sequenza secondo criteri prestabiliti (le regole del linguaggio), in quanto la frase ottenuta deve avere un significato (per il linguaggio) (ad esempio: «Zio mela è suona» è una frase disordinata, senza senso).
  • Logica intuizionistica
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