28 feb 2011

Dominio e codominio di relazione

Nell'insieme delle coppie di una relazione R, il primo elemento di ogni coppia appartiene al dominio della relazione, il secondo elemento di ogni coppia appartiene al codominio della relazione.

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Proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva

Proprietà riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, antisimmetrica e transitiva delle relazioni matematiche.

Proprietà riflessiva:
Avviene quando definita una relazione R da una proposizione aperta p(x, y), ottenendo x R y (x è in relazione con y) anche y R x (anche y è in relazione con x). Quindi con una spiegazione veloce, una relazione in un dato insieme A è riflessiva quando A (tutti gli elementi di A o ciascun elemento di A) è o sono in relazione con se stessi.




Proprietà antiriflessiva:
Una relazione in un insieme F si dice antiriflessiva quanto nessun elemento di F è in relazione con se stesso.
Per esempio, stabilita una relazione R da un enunciato p(x, y) "x è la metà di y", per verificare se è riflessiva, non riflessiva o antiriflessiva bisogna verificare se ogni elemento del dominio o codominio è in relazione R con se stesso. Quindi, se "x è la metà di y", "x non è la metà di x". Se x = 2, 2 non è la metà di 2. Stessa ed identica cosa con y.


Proprietà simmetrica:
Data una relazione x R y, se si ha che anche y R x, la relazione è simmetrica. Questo significa che in una relazione simmetrica non ha alcun significato l'ordine degli elementi delle coppie o gruppi, perchè la proposizione è sempre vera. Cioè, se ...

Proprietà antisimmetrica:
In una relazione R, se x R y ma y non R x (se x è in relazione con y ma y non è in relazione con x) per tutti gli elementi dell'insieme, allora la relazione è antisimmetrica.

Proprietà transitiva:
La proprietà transitiva di una relazione definita da un enunciato aperto p(x, y, z) ci dice che: se x è in relazione con y e y è in relazione con z, anche x è in relazione con z. Una relazione di questo tipo si dice transitiva.

Le relazioni d'ordine e di equivalenza dipendono proprio da tutte queste proprietà:
  • Una relazione di equivalenza dev'essere riflessiva, simmetrica e transitiva contemporaneamente.
  • Una relazione d'ordine dev'essere antisimmetrica e transitiva.


Una relazione di questo tipo:
{ Nessun elemento del dominio della relazione ha un'immagine, o semplicemente non è controimmagine di nessun elemento del codominio. }
Si dice vuota o nulla, perchè il sottoinsieme risultato non contiene nessuna coppia di x, y, quindi in tutte le combinazioni possibili di coppie di elementi che appartengono all'insieme ambiente, nessuna di esse soddisfa la proposizione della relazione. Quindi a questo punto dobbiamo dire che anche dominio e codominio della relazione sono vuoti.

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Relazione matematica di coppie

Una relazione è un rapporto tra due elementi di uno, due o più insiemi. Il rapporto di una relazione viene definito da una proposizione aperta o enunciato aperto con il predicato immesso tra i due argomenti della proposizione. Il risultato è un insieme che ha per elementi le coppie ordinate che soddisfano la proposizione logica della relazione.

Ad esempio:
Insieme A = { 3, 4, 5, 6, 8, 11 }
Insieme B = { 8, 22, 6 }
Enunciato aperto p(x, y) « x è la metà di y », con x ∈ A e y ∈ B.
Relazione R definita dall'enunciato logico p
R = { (3, 6), (4, 8), (11, 22) }

Altro esempio di relazione:

Relazione di insiemi matematici

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27 feb 2011

Matematica facile - Algebra facile

Per apprendere facilmente la matematica occorre studiare al meglio secondo criteri opportuni. Apprendere velocemente la matematica richiede molta applicazione. Una volta capito un semplice concetto studiato, bisogna passare all'applicazione, cioè svolgere esercizi su esercizi, indovinelli ecc per eliminare sempre di più i dubbi in modo da evitare di dimenticare e memorizzare sempre meglio.

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Lezioni di algeba online

Lezioni di algebra di base online gratis:

Questo è un percorso fatto di lezioni ed è rivolto a chiunque voglia apprendere le basi dell'algebra online in modo semplice e veloce, alla spiegazione dettagliata di ogni concetto, si aggiungono oltre agli esempi, articoli di approfondimento, esercizi svolti, guidati e da svolgere online.

  1. Insiemi:
  2. Gli insiemi in matematica (cos'è un insieme?)
  3. Sottoinsiemi di un insieme (cos'è un sottoinsieme?)
  4. Logica:
  5. Predicati in matematica (cos'è un predicato in logica?)
  6. Proposizioni: semplice, approfondito (cos'è una proposizione?)
  7. Insiemi e logica:
  8. Insieme delle parti (cos'è l'insieme delle parti? come si determina?)
  9. Operazioni sugli insiemi (quali operazioni si possono fare sugli insiemi?)
  10. Operazioni con i predicati (quali operazioni si possono fare con i predicati?)
  11. Operazioni con le proposizioni logiche - Le operazioni logiche
  12. Partizione di un insieme
  13. Insieme ambiente in matematica 
  14. Condizioni e teoremi:
  15. Condizione sufficiente
  16. Condizione necessaria
  17. Condizioni necessarie e sufficienti
  18. Definizione di teorema
  19. Relazioni:
  20. Relazione in matematica: 1 o 2
  21. Dominio e codominio di relazione
  22. Proprietà delle relazioni:
  23. Proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva
  24. Relazioni di equivalenza
  25. Relazioni d'ordine
  26. Relazioni di equivalenza
  27. Funzioni:
  28. Funzione in matematica
  29. Funzione suriettiva, iniettiva e biiettiva
  30. I numeri matematici
  31. Tengo presente che il seguente corso non è stato ancora ultimato, stiamo lavorando per farlo.

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    26 feb 2011

    Esercizi di matematica online

    Esercizi di algebra online:

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    Esercizi sugli insiemi

    Ecco un elenco di esercizi sugli insiemi:

    Numero 1:
    Dato l'insieme A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } rappresentato mediante elencazione tabulazione, rappresentalo mediante proprietà caratteristica. Cioè, individua il predicato o la proposizione aperta che tutti gli elementi di A soddisfano. Essa sarà la proprietà caratteristica dell'insieme.

    Numero 2:
    Dato l'insieme N = { x ∈ R | x ≥ 0 }, rappresenta mediante elencazione l'insieme individuato dal predicato p: "x è < di 7" in N.

    Numero 3:
    Dato l'insieme N dei numeri naturali, individua attraverso un predicato p: "" o una proposizione aperta p() un insieme, e poi con la negazione del predicato determina l'insieme complementare rappresentandolo mediante elencazione.

    Numero 4:
    Dati i seguenti insiemi: A = { marco, giovanni, paolo, francesco }, B = { luca, giovanni, paolo } e C = { marco, giovanni }, determina il valore di verità delle seguenti relazioni:
    a. C ⊂ A     b. B ⊃ C     c. C ⊆ A


    Altri esercizi sugli insiemi matematici: 1, 2, 3

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    24 feb 2011

    Relazione in matematica

    Una relazione è un enunciato aperto con due argomenti di solito indicati con x ed y. R quindi è una relazione definita da p(x, y) ed x e y possono appartenere entrambi ad un insieme o a due insiemi diversi. Presi due elementi di qualsiasi insieme, se soddisfano l'enunciato p, allora si dice che sono in relazione tra di loro. Y è immagine di X e X è controimmagine di Y.


    Per fare un esempio:
    Se noi abbiamo l'insieme F = { 1, 2, 3 } e l'insieme T = { 2, 4, 6 }, ogni elemento di F si chiamerà x e ogni elemento di T si chiamerà y. Se definiamo una proposizione aperta p(x, y) la quale contiene il predicato "x è la metà di y", essa ha messo in relazione gli elementi dei due insiemi, ogni x in F ha un'immagine y in T, ed ogni y in T ha una controimmagine x in F.

    File PDF guida sulle relazioni, proprietà delle relazioni e funzioni.

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    22 feb 2011

    Insieme ambiente in matematica

    Che cos'è l'insieme ambiente in matematica o algebra?

    L'insieme ambiente in matematica individua un insieme che include altri insiemi, detti sottoinsiemi. Gli elementi dell'insieme ambiente quindi vengono utilizzati per comporre altri insiemi attraverso un predicato o, una proposizione atomica/molecolare. Gli insiemi ambiente per eccellenza sono alcuni insiemi numerici:

    • N: l'insieme dei numeri naturali, cioè i numeri interi positivi
    • Z: l'insieme dei numeri interi, sia positivi che negativi
    • Q: insieme dei numeri razionali, cioè quei numeri ottenibili tramite il rapporto di altri 2 numeri.

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    Partizione di un insieme

    Si dice Partizione di un insieme A l'elenco dei sottoinsiemi (S1, S2, S3, ... ) che soddisfano i seguenti predicati:
    Sono a due a due disgiunti;
    Nessuno di loro è un insieme vuoto.
    La loro unione ci dà l'insieme A stesso.

    Esempio con insiemi:
    ITIS = { x è una persona minorenne | x è uno studente dell'itis };
    Classe1A = { x appartiene ad ITIS | x ha 13 o 14 anni e frequenta il corso A };
    Classe 3C = { x appartiene ad ITIS | x ha 16 o 17 anni e frequenta il corso C };
    ... tutte le classi
    Partizione di ITIS { x è una classe dell'istituto tecnico industriale statale };

    Descrizione esempio per capire le partizioni di un insieme:
    Nell'esempio, l'insieme ITIS è costituito da due predicati separati dal simbolo "|". Il primo predicato individua l'insieme ambiente, cioè l'insieme da cui si prendono gli elementi. Il secondo predicato invididua gli elementi di quell'insieme che lo soddisfano. Quindi l'insieme ITIS è formano dalle persone minorenni che frequentano l'istituto tecnico industriale statale. La partizione dell'insieme ITIS è costituita da tutte le classi che formano l'istituto perchè:

    • Le classi sono a due a due disgiunte, poichè non contengono elementi in comune
    • Nessuna classe è vuota
    • La loro unione ci dà come risultato l'insieme di tutti gli studenti dell'istituto
    Partizione degli insiemi.

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      21 feb 2011

      Operazioni con le proposizioni logiche

      Le operazioni con le proposizioni sono proprio come le operazioni aritmetiche, hanno un nome ed un simbolo. Nel nostro caso il simbolo prende il nome di connettivo, che corrisponde ad una particella linguistica se applicato alle frasi.

      Le operazioni sulle proposizioni sono:
      Negazione
      Congiunzione
      Disgiunzione inclusiva
      Disgiunzione esclusiva
      Implicazione materiale
      Coimplicazione materiale

      La negazione è l'operazione logica più semplice perchè opera su una sola proposizione e si attua anteponendo il connettivo "non" alla frase che appartiene alla proposizione, e il simbolo al nome della proposizione.

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      18 feb 2011

      Operazioni sui predicati

      Se non sapete cos'è un predicato, leggetevi l'apposita guida.

      Elenco delle operazioni che si possono fare con i predicati algebrici o logici:
      Negazione
      Congiunzione
      Disgiunzione

      La negazione è un operazione unaria, cioè opera su un solo operando e restituisce un valore di verità opposto. Ad esempio, se vero restituisce falso, se falso restituisce vero.
      Il simbolo della negazione logica è questo ¬ ed  è seguito dal predicato.
      Esempio: dato un predicato p: "l'uomo è un mammifero",  ¬p: "l'uomo non è un mammifero".

      La congiunzione è un operazione binaria, cioè opera su due operandi. Il simbolo della congiunzione è ∧ e si trova in mezzo fra i due predicati, mentre il connettivo è: e. Essa restituisce un valore di verità vero soltanto se entrambi i predicati sono veri.
      Esempio:

      La disgiunzione è un operazione binaria, il suo simbolo è ∨ o v. Essa restituisce un valore falso solo se sono falsi entrambi i predicati dell'operazione. In tutti gli altri casi vero.

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      Operazioni con gli insiemi

      Le operazioni sugli insiemi sono definite da operazioni di predicati o composizioni di proposizioni aperte.

      (cioè, noi possiamo definire gli elementi di un insieme attraverso predicati o proposizioni, e le operazioni che si possono fare sui predicati o le proposizioni, ci danno come risultato un nuovo predicato, che a sua volta rappresenta un nuovo insieme).

      Ad esempio:
      q: "x è minore di 60"; p: "x è minore di 30"
      A = { x appartiene a N | q }
      B = { x appartiene a N | p }Se effettuiamo un'operazione sui predicati p e q, otteniamo un nuovo predicato e di conseguenza un nuovo insieme. Quindi, associando al nuovo predicato un nuovo insieme, abbiamo effettuato un operazione fra insiemi. Vi rimando alle operazioni sui predicati per capire meglio.

      Le operazioni che si possono fare sugli insiemi sono:
      Intersezione (Deriva dalla congiunzione di due predicati)
      Unione (Deriva dalla disgiunzione di due predicati)
      Differenza (Dalla congiunzione di due predicati, con la negazione del secondo)
      Prodotto Cartesiano (vedremo più avanti)

      Cos'è l'intersezione fra gli insiemi? come si fà?

      L'intersezione di insiemi è un operazione binaria, cioè con due operandi. Il risultato di un'intersezione fra due insiemi è un insieme che contiene gli elementi in comune, cioè gli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi.
      Per esempio: dato l'insieme A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 1, 2, 6, 7 }, l'intersezione fra A e B ci dà l'insieme C = { 1, 2 }.

      Unione fra due insiemi:

      L'unione di due insiemi è un operazione binaria fra due insiemi. Il risultato dell'unione tra due insiemi è un insieme che contiene gli elementi dell'uno o dell'altro insieme, cioè gli elementi di tutti e due gli insiemi. Ogni elemento dell'insieme ottenuto deve appartenere all'uno o all'altro insieme, o ad entrambi e non dev'essere ripetuto nell'insieme risultato.

      Differenza fra due insiemi:

      La differenza di due insiemi è un operazione che restituisce un insieme il quale contiene gli elementi del primo che non appartengono al secondo.
      Ad esempio:
      Mammiferi = { cane, gatto, topo, canguro, pinguino }
      Quadrupedi = { cane, gatto, topo }
      Mammiferinonquadrupedi = Mammiferi - Quadrupedi
      Mammiferinonquadrupedi = { canguro, pinguino }
      Tutto deriva dalle operazioni con i predicati:
      m: "x è un mammifero"
      q: "x è un mammifero quadrupede"
      Mammiferi = { m }
      Quadrupedi = { q }
      mnq = m congiunzione non q
      quindi mnq: "x è un mammifero e non è un quadrupede"

      Ora possiamo trarre una definizione generale più approfondita sulla differenza di due insiemi (rispondiamo alla domanda: cos'è la differenza fra insiemi?):
      Dati due insiemi A e B, individuati dai predicati q ed m, l'insieme differenza è individuato da un predicato il quale, è il risultato della congiunzione fra q e non m (negazione di m).

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      17 feb 2011

      Insieme delle parti

      L'insieme delle parti di un insieme A, è l'insieme che contiene per elementi tutti i sottoinsiemi propri ed impropri di A. Essi infatti assumono la caratteristica di elementi che contengono altri elementi.

      Esempi:
      Determinare l'insieme delle parti
      A = { x appartiene a N | x < 3 }
      quindi A = { 0, 1, 2}
      I sottoinsiemi impropri di A sono l'insieme A stesso e l'insieme vuoto.
      I sottoinsiemi propri sono tutte le combinazioni possibili che si possono formare con gli elementi di A.
      Ecco tutti i sottoinsiemi propri di A:
      S1 = { 0 }; S2 = { 1 }; S3 = { 2 }; S4 = { 0, 1 }; S5 = { 0, 2 }; S6 = { 1, 2 }; S7 = { 0, 1, 2};

      L'insieme delle parti di A, che si indica con P(A), è uguale:
      P(A) = { insieme A stesso, insieme vuoto, S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7 };

      La regola generale per ottenere la cardinalità dell'insieme delle parti di un insieme I è:
      C_I = cardinalità di I (numero di elementi)
      P(I) = 2^C_I (cioè 2 elevato C_I)

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      16 feb 2011

      Proposizione (Matematica)

      Che cos'è una proposizione in matematica?

      In matematica, un predicato costituito da uno o più argomenti per il quale è possibile stabilire un valore di verità (vero o falso), prende il nome di proposizione o enunciato.
      Una proposizione può essere atomica o molecolare.
      La proposizione atomica è costituita da un solo predicato che collega 2 argomenti o ne caratterizza uno solo.
      La proposizione molecolare è il risultato di un'operazione fra più proposizioni atomiche, con appunto le operazioni con le proposizioni.

      Una proposizione o enunciato si dice aperta quando riceve in input argomenti variabili appartenenti ad un dato insieme.

      Approfondimenti sulle proposizioni.

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      Tutti i Simboli matematici sulla tastiera

      Se avete la necessità di scrivere formule matematiche o espressioni matematiche o algebriche in documenti di testo, non potete fare a meno dei simboli ed operatori matematici in unicode (Mathematical operators and symbols in unicode). Noi abbiamo quì un elenco di simboli utili con eventuale descrizione e qualche esempio.

      Simboli di insiemi:

      Simbolo di appartenenza ad un insieme:   ∈
      Simbolo di non appartenenza ad un insieme: 
      Simbolo insieme vuoto:   ∅ ,   Ø,   ø,   Φ
      Simbolo sottoinsieme o improprio:   ⊆,  ⊇
      Simbolo sottoinsieme proprio:   ⊂ ,  ⊃
      Simbolo di inclusione:  ⊂ ,  ⊃
      Quantificatore universale:   ∀
      Quantificatore esistenziale:    ∃
      Quantificatore non esistenziale nullo: ∄
      Simbolo / i di non inclusione: ⊄ o ⊅
      Maggiore o uguale simbolo: ≥
      Minore o uguale simbolo: ≤

      Simboli operazioni logiche unarie e binarie:

      Negazione logica: ¬A o Ā (dove A è un insieme qualunque)
      Congiunzione logica: ∧ ('v' rovesciata)
      Disgiunzione inclusiva: ∨
      Disgiunzione esclusiva: ⨃
      Implicazione materiale:
      Implicazione logica:
      Coimplicazione materiale:  

      Simboli operazioni tra insiemi:

      Negazione o complementazione:
      Intersezione: Ç,   ⋂
      Unione:
      Differenza:
      Prodotto cartesiano

      Simbolo infinito: ∞ es. [(0, + ∞) è l'intervallo dell'insieme N (numeri naturali)]

      PS : se conoscete o trovate altri simboli matematici ditecelo nei commenti, vi saremo riconoscenti.

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      13 feb 2011

      Logica dei predicati

      Un predicato è un'espressione verbale per la quale ha senso dire se è vera o se è falsa, che associata ad un insieme diventa una proprietà degli elementi di quell'insieme. Se parliamo dell'insieme A, e gli associamo il predicato p, otteniamo un sottoinsieme proprio o improprio di A se alcuni o tutti gli elementi che appartengono ad A soddisfano il predicato p.
      Un predicato dunque è una frase che in logica può assumere un valore di verità (vero o falso).

      Esempio:
      A = { cane, gatto, topo, serpente, coccodrillo, giraffa};
      L'insieme A è individuato dal predicato "x ∈ A | x è un'animale";

      B = {x ∈ A | x è un quadripede};
      Il predicato "x è un quadripede" individua gli animali a quattro zampe dell'insieme A.

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      Sottoinsiemi di un insieme

      Preso l'insieme N dei numeri naturali possiamo ottenere un nuovo insieme tramite un predicato. Associando ad esempio il predicato p:"x è pari" all'insieme N si ottiene un nuovo insieme costituito da tutti gli elementi di N che sono pari. Questo insieme viene detto sottoinsieme di N e si dice che è incluso in esso o che esso lo include.

      Dato un insieme A, i suoi sottoinsiemi si dividono in due categorie: propri ed impropri. I sottoinsiemi impropri sono l'insieme A stesso e l'insieme vuoto indicato con {}. I sottoinsiemi propri sono tutti gli altri.

      Per dire che L'insieme B è un sottoinsieme di A si scrive:
                B ⊂ A     oppure        A ⊃ B che significano:
         B  è incluso in A         A include B


      Esempi:
      A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }; (Rappresentazione tabulare o per elencazione)
      B = { x ∈ A | x < 4 }; (Rappresentazione mediante proprietà caratteristica)
      B è un sottoinsieme proprio di A. È individuato dal predicato p: "x < 4".

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      Gli insiemi in matematica - Insiemi matematici

      Cos'è un insieme nella matematica:

      Un insieme matematico indica una collezione, un raggruppamento di oggetti. Un insieme può essere concreto o astratto. Gli oggetti che formano la raccolta prendono il nome di elementi e raggruppandoli formano un'insieme.
      Un insieme si indica con una lettera maiuscola dell'alfabeto. Ad esempio: "l'insieme A degli alberi", l'insieme B delle case, ecc". Poi ci sono alcune particolari lettere per rappresentare insiemi matematici:
      - N rappresenta l'insieme dei numeri naturali con intervallo (0, + ∞). L'insieme dei numeri naturali rappresenta l'insieme dei numeri interi positivi più lo zero.
      - Z rapresenta l'insieme dei numeri interi relativi (- ∞, + ∞), cioè numero negativi + numeri naturali.
      - Q rappresenta l'insieme dei numeri razionali, cioè quei numeri esprimibili mediante una frazione o un numero decimale/periodico.

      Un insieme può essere finito, infinito o vuoto. Di
      un insieme finito è possibile ottenere la cardinalità n che è uguale al numero degli elementi contenuti. Un insieme infinito non è rappresentabile mediante modalità tabulare o per elencazione ma mediante proprietà caratteristica (vedremo più avanti). Un insieme vuoto è un insieme che non ha elementi e si può indicare con:
      { }   oppure   ∅.
      Due insiemi si dicono uguali quando hanno gli stessi elementi.

      Ogni elemento può appartenere o non appartenere ad un insieme. Se x appartiene all'insieme dei numeri naturali si scrive:
                x ∈ N     altrimenti se non appartiene     x ∉ N

       
      Modalità di rappresentazione di un insieme (rappresentare un insieme):

      - Rappresentazione tabulare o per elencazione: consiste nell'elencare all'interno di parentesi graffe tutto gli elementi dell'insieme separati da virgole. Esempio: Mammiferi = { cane, gatto, topo, uccello, mucca, leone, tigre, gheopardo};

      - Rappresentazione mediante proprietà caratteristica: consiste nell'attribuire ad ogni elemento dell'insieme una caratteristica che li accomuna tutti. Cioè un elemento per appartenere all'insieme dei multipli di 2 dev'essere un numero pari.
      Esempio: Mammiferi = { x | x è capace di allattare }.
      L'espressione verbale "x è capace di allattare" è una proprietà che un oggetto deve soddisfare per appartenere all'insieme Mammiferi. Definita Caratteristica.

      - Rappresentazione mediante diagramma di eulero-venn:
      Che consiste nel racchiudere in un ellisse gli elementi dell'insieme, ogni elemento è rappresentato da un puntino sospeso all'interno dell'ellisse. La figura sopra mostra una relazione tra due insiemi. Bambini e armadietti. Essa è una funzione.

      Ogni insieme ha dei sottoinsiemi.

      Date una vostra opinione sull'articolo riguardo all'argomento citato.

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