8 mar 2011

Prodotto cartesiano di insiemi

Il prodotto cartesiano di insiemi è un operazione binaria in cui gli operandi sono gli insiemi e l'operatore è «x». Dati sue insiemi A e B, il prodotto cartesiano di A e B si indica A x B.



Il prodotto cartesiano A x B restituisce un insieme i cui elementi sono coppie ordinate, premesso che x appartenga ad A e y a B, un generico elemento dell'insieme A x B è (x, y), cioè una coppia ordinata costituita da un elemento (x) del primo insieme (A) e da un elemento (y) del secondo (B).

Ecco una rappresentazione:
A x B = { (x, y) | x ∈ A e y ∈ B }

Per chi conoscesse le relazioni e le funzioni matematiche, possiamo dire che il prodotto cartesiano A x B è una relazione R: A verso B, più precisamente una funzione F: A verso B, in quanto ogni elemento di A ha un'immagine in B. Quindi qualsiasi relazione (o funzione) esistente di due insiemi, non è altro che un sottoinsieme del prodotto cartesiano degli insiemi operandi.

Ecco un esempio:
A = { a, b, c, d, e, f, g, h, i }
B = { l, m, n, o, p, q, r, s, t }
Data una relazione R : A verso B
Da una proposizione aperta p(x, y): «x ∈ A e y ∈ B» con x ∈ A e y ∈ B
Abbiamo come risultato della relazione l'insieme delle coppie ordinate (x, y), ogni coppia appartiene a R se il primo elemento appartiene ad A e il secondo appartiene a B, quindi l'insieme delle coppie risulta essere il prodotto cartesiano A x B, che possiamo indicare con C.

Dettagli aggiuntivi: Fra A e B dell'esempio è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca in quanto A e B hanno la stessa cardinalità (stesso numero di elementi), quindi sono equipotenti.

Potete approfondire ancora l'operazione del prodotto cartesiano quì: Prodotto cartesiano - Wikipedia.
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1 commento:

Anonimo ha detto...

Il prodotto cartesiano è una relazione...