28 feb 2011

Dominio e codominio di relazione

Nell'insieme delle coppie di una relazione R, il primo elemento di ogni coppia appartiene al dominio della relazione, il secondo elemento di ogni coppia appartiene al codominio della relazione.

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Proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva

Proprietà riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, antisimmetrica e transitiva delle relazioni matematiche.

Proprietà riflessiva:
Avviene quando definita una relazione R da una proposizione aperta p(x, y), ottenendo x R y (x è in relazione con y) anche y R x (anche y è in relazione con x). Quindi con una spiegazione veloce, una relazione in un dato insieme A è riflessiva quando A (tutti gli elementi di A o ciascun elemento di A) è o sono in relazione con se stessi.




Proprietà antiriflessiva:
Una relazione in un insieme F si dice antiriflessiva quanto nessun elemento di F è in relazione con se stesso.
Per esempio, stabilita una relazione R da un enunciato p(x, y) "x è la metà di y", per verificare se è riflessiva, non riflessiva o antiriflessiva bisogna verificare se ogni elemento del dominio o codominio è in relazione R con se stesso. Quindi, se "x è la metà di y", "x non è la metà di x". Se x = 2, 2 non è la metà di 2. Stessa ed identica cosa con y.


Proprietà simmetrica:
Data una relazione x R y, se si ha che anche y R x, la relazione è simmetrica. Questo significa che in una relazione simmetrica non ha alcun significato l'ordine degli elementi delle coppie o gruppi, perchè la proposizione è sempre vera. Cioè, se ...

Proprietà antisimmetrica:
In una relazione R, se x R y ma y non R x (se x è in relazione con y ma y non è in relazione con x) per tutti gli elementi dell'insieme, allora la relazione è antisimmetrica.

Proprietà transitiva:
La proprietà transitiva di una relazione definita da un enunciato aperto p(x, y, z) ci dice che: se x è in relazione con y e y è in relazione con z, anche x è in relazione con z. Una relazione di questo tipo si dice transitiva.

Le relazioni d'ordine e di equivalenza dipendono proprio da tutte queste proprietà:
  • Una relazione di equivalenza dev'essere riflessiva, simmetrica e transitiva contemporaneamente.
  • Una relazione d'ordine dev'essere antisimmetrica e transitiva.


Una relazione di questo tipo:
{ Nessun elemento del dominio della relazione ha un'immagine, o semplicemente non è controimmagine di nessun elemento del codominio. }
Si dice vuota o nulla, perchè il sottoinsieme risultato non contiene nessuna coppia di x, y, quindi in tutte le combinazioni possibili di coppie di elementi che appartengono all'insieme ambiente, nessuna di esse soddisfa la proposizione della relazione. Quindi a questo punto dobbiamo dire che anche dominio e codominio della relazione sono vuoti.

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Relazione matematica di coppie

Una relazione è un rapporto tra due elementi di uno, due o più insiemi. Il rapporto di una relazione viene definito da una proposizione aperta o enunciato aperto con il predicato immesso tra i due argomenti della proposizione. Il risultato è un insieme che ha per elementi le coppie ordinate che soddisfano la proposizione logica della relazione.

Ad esempio:
Insieme A = { 3, 4, 5, 6, 8, 11 }
Insieme B = { 8, 22, 6 }
Enunciato aperto p(x, y) « x è la metà di y », con x ∈ A e y ∈ B.
Relazione R definita dall'enunciato logico p
R = { (3, 6), (4, 8), (11, 22) }

Altro esempio di relazione:

Relazione di insiemi matematici

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