30 mar 2011

Operazioni con i numeri naturali (Operazioni matematiche)

Le operazioni fra numeri naturali sono definite dalle operazioni sugli insiemi stessi (che appartengono all'insieme quoziente della relazione di equipotenza fra insiemi).
Le prime due sono fondamentali: l'addizione (o somma) e la moltiplicazione (o prodotto). [La sottrazione è l'opposto della somma, e la divisione l'opposto della moltiplicazione]

Addizione (Somma di numeri naturali):
Ci siamo mai chiesti perchè 2 + 2 fà 4? o perchè 12 + 5 fà 18? sinceramente sembra troppo stupida la domanda, infatti potremmo rispondere che se abbiamo 2 mele in una mano e altre 2 nell'altra, unendo le mani ne avremo 4. Possiamo subito pensare agli insiemi, infatti la mano sinistra rappresenta l'insieme A, e la destra l'insieme B. Unendo i due insiemi, otterremmo l'insieme C che contiene quattro elementi.
Quindi:
A = { mela_1, mela_2 }
B = { mela_3, mela_4 }
C = A ⋃ B e cioè { mela_1, mela_2, mela_3, mela_4 }
[Ecco una lezione sull'unione fra insiemi]
Ma se avremmo avuto così:
A = { mela_1, mela_2 }
B = {mela_2, mela_3 }
C = A ⋃ B e cioè { mela_1, mela_2, mela_3 }
Allora C non conterrà quattro elementi, ma tre. Da quì si deduce che nel primo esempio A e B sono disgiunti, mentre nel secondo no. Ora possiamo formulare una regola generale, o per meglio dire, un teorema.

«Dati due insiemi A e B disgiunti ai quali sono associati due numeri naturali a e b, l'unione di A e B ci dà l'insieme C che ha associato il numero c, e quest'ultimo sarà il risultato della somma di a con b»
«a e b si dicono addendi»


Moltiplicazione:
Per spiegare alle domande della moltiplicazione, faremo in modo analogo all'addizione. Andiamo in un supermarket per comprare delle brioche, vediamo che ogni confezione ne contiene 6 e prendiamo 3 confezioni. E per sapere quante brioche abbiamo comprato?
A = { b1, b2, b3, b4, b5, b6 } [brioche] con cardinalità t
B = { c1, c2, c3 } [confezioni] con cardinalità r
C = A x B e cioè { (b1, c1), (b1, c2), (b1, c3), (b2, c1), (b2, c2), ..., (b6, c3)}
C avrà cardinalità z = t x r. Quindi 6 x 3 = 18.
Si dice che z è multiplo di t secondo r, ed è multiplo di r secondo t.

[Avremo potuto risolvere il tutto unendo le tre confezioni? nella realtà sì, ma in algebra no. Poichè è sempre l'insieme A, ed unendono con se stesso infinite volte, sara sempre uguale ad A. Al contrario, se ogni confezione avrebbe avuto un insieme diverso, allora sì.]

Sottrazione (O differenza):
Alcuni dicono che la sottrazione è la somma di un numero con l'opposto del secondo, ma questo in N non è possibile, in quanto non esistono i numeri negativi, e non si possono rappresentare in nessun modo.
Basandoci sugli insiemi, e precisamente sull'operazione di differenza fra insiemi, possiamo determinare la sottrazione fra due numeri. Ecco un esempio:
T = { 1, 3, 6, 9, 10, 15, 19, 21 } [8 elementi]
M = { 6, 10, 15 } [3 elementi]
T - M = { 1, 3, 9, 19, 21 } [5 elementi]
Da notare però che T ed M non sono disgiunti stavolta, ma M è incluso in T. Quindi il sottraendo (M) dev'essere associato ad un sottoinsieme dell'insieme del minuendo (T).

Lezione inconclusa!

Le quattro operazioni

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1 commento:

Unknown ha detto...

12+5 fa 18?