Corrispondenza biunivoca

Per capire più a fondo, ecco una definizione di corrispondenza biunivoca:
Dati due insiemi A e B, tra essi c'è una corrispondenza biunivoca quando per una funzione ogni elemento di A ha un'immagine in B, e ogni elemento di B ha una controimmagine in A.


Quindi due insieme possono essere messi in corrispondenza biunivoca soltanto quando hanno lo stesso numero di elementi (cardinalità).

Di solito una relazione è un insieme di coppie generate da una proposizione aperta a due variabili p(x, y), diventa una funzione quando ogni elemento del primo insieme è presente in almeno una coppia, diventa una corrispondenza biunivoca quando ogni elemento del primo o secondo insieme è presente in una coppia soltanto.

Ecco un esempio:
A = { A, B, C, D }
B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Con la seguente funzione iniettiva (corrispondenza univoca):

E la seguente funzione biiettiva (corrispondenza biunivoca):

Analizzando le due funzioni nelle immagini deduciamo che:

1. Nella prima la corrispondenza è univoca e la funzione è iniettiva, perchè il dominio della funzione corrisponde all'insieme A stesso e ogni elemento x di A ha un'immagine distinta in B.
2. Nella seconda la corrispondenza è biunivoca e la funzione è biiettiva, in quanto anche il codominio corrisponde a B e ogni elemento ha associato un solo elemento distinto nell'altro insieme.

Ecco alcuni esempi pratici:

1. L'alfabeto binario è costituito da B = { 0, 1 }, e un segnale per essere interpretato dalla cpu o da qualsiasi circuito elettronico, dev'essere tradotto in un segnale elettrico con voltaggio, ad esempio il voltaggio 0 corrisponde allo 0 binario, e il voltaggio 5 corrisponde all'1 binario. Abbiamo creato una corrispondenza biunivoca fra L'alfabeto binario B = { 0, 1 } e l'insieme dei valori di tensione del circuito considerato V { 0, 5 }.
2. Una funzione biiettiva più complessa può formarsi fra due classi di una scuola, 1B e 2C. 1B = { Marco, Giovanni, Michele, Lorenzo, Angela, Vanessa, Isabella } e 2C { Maria, Francesco, Anna, Francesca, Giuseppe, Simone, Luca }, con una relazione R : A → B data da p(x, y): «x è dello stesso sesso di y» con x ∈ A e y ∈ B. R può essere considerata una funzione biiettiva, infatti esaminate l'insieme delle coppie che si ottiene, analizzate il dominio, il codominio, e la corrispondenza che si crea.
3. Tra due automobili (Fiat Punto e Volkswagen Golf), se consideriamo l'insieme dei pezzi standard della prima e della seconda (cioè che ogni auto deve avere. Ad esempio: ruota anteriore sinistra, anteriore destra, posteriore sinistra, ecc...), possiamo effettuare una corrispondenza biunivoca fra gli insiemi poichè ogni automobile deve avere quei pezzi. Ma se consideriamo l'insieme totale dei pezzi di ogni automobile, non avremo più una corrispondenza biunivoca, e forse neanche una funzione.

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