2 mar 2011

Relazioni di equivalenza

Una relazione è di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva.

Ripetiamo un attimino per chi sene fosse dimenticato le proprietà delle relazioni matematiche, una relazione algebrica R è:

  • riflessiva: se ogni elemento dell'insieme ambiente è in relazione con se stesso
  • antiriflessiva: se nessun elemento è in relazione con se stesso
  • simmetrica: se invertendo l'ordine delle variabili, la relazione è sempre vera (per tutti gli elementi)
  • antisimmetrica: se invertendo l'ordine, la relazione non è mai vera (per tutti gli elementi)
  • transitiva: se in una tripla x, y e z, x è in relazione con y, y con z, e x con z.
 Chiarito ora il concetto, passiamo al dunque.
Una relazione di equivalenza organizza gli elementi di un insieme in altri insiemi o gruppi, che prendono il nome di classi di equivalenza. L'insieme che ha per elementi tutte le classi di equivalenza di un insieme, prende il nome di insieme quoziente. Tutti gli elementi (sottoinsieme dell'insieme ambiente) dell'insieme quoziente presentano le seguenti proprietà:
  • Sono a coppie disgiunti (l'unione di due insiemi ci dà l'insieme vuoto)
  • Nessuno è vuoto (Ogni insieme ha almeno un elemento)
  • La loro unione ci dà l'insieme ambiente (Ogni elemento dell'insieme ambiente è contenuto in qualche classe di equivalenza)
Quindi possiamo dire che l'insieme quoziente rappresenta una partizione dell'insieme ambiente.

Esempi di relazioni di equivalenza:

1) In un istituto scolastico abbiamo 800 studenti e 5 corsi o sezioni frequentabili: A, B, C, D, E. I primi 120 vanno nel corso A, i prossimi 170 nel corso B, altri 150 nella sezione C, 260 in D, 200 in E. È evidente che ogni sezione/corso contiene un numero di alunni distinti dagli altri corsi, cioè ogni alunno può frequentare un solo corso (Per questo si dice che gli insiemi sono disgiunti, perchè non contengono elementi in comune), nessuna sezione è senza alunni e infine nessun alunno è fuori dai seguenti corsi. Se l'unione delle sezioni ci dà l'insieme istituto, allora abbiamo usato una relazione di equivalenza.

2) In una caserma di 24 carabinieri, sappiamo che ogni carabiniere ha un certo grado. I gradi dei carabinieri sono: carabiniere semplice, carabiniere scelto, appuntato, brigadiere e maresciallo. Per formare la caserma, ogni grado deve contenere almeno un ufficiale, e ogni ufficiale deve appartenere ad un solo grado fra questi. L'unione degli ufficiali di tutti i gradi, ci dà come risultato l'insieme di elementi di tutti i carabinieri della Caserma o stazione.

2 commenti:

Anonimo ha detto...

non si capisce niente...lascia stare l'insegnamento non è per te

Teti ha detto...

Bravo! mi hai salvata! :)