Funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva.

Innanzitutto iniziamo col dire che non si scrive biettiva, ma biiettiva (con due i).

Le funzioni come sappiamo sono relazioni che generano una corrispondenza univoca fra due insiemi, in quanto ogni elemento del primo insieme ha associato un solo elemento nel secondo, ma non è necessariamente vero l'incontrario.

Una relazione di tipo funzione fra due insiemi A e B da vita quindi a una corrispondenza. Le corrispondenze possono essere di vario tipo:

• uno a molti: Ogni elemento x di A può avere più immagini y in B
• molti a uno: Ogni elemento y di B può avere più controimmagini x in A
• uno a uno: Ogni elemento x di A ha una sola immagine y in B e vale anche il contrario.
• molti a molti: Ogni elemento x di A può avere più immagini y in B e questi ultimi posson avere più controimmagini x in A.

 In base alla corrispondenza che genera una funzione, possiamo dire quale proprietà soddisfa fra le seguenti:

• Una funzione si dice suriettiva quando il codominio corrisponde all'insieme B, quindi ogni elemento di B ha una controimmagine in A.
• Una funzione si dice iniettiva quando elementi distinti di A, hanno immagini distinte in B, quindi ad ogni elemento può essere associato un solo altro elemento che non sia stato associato ad un altro ancora.
• Una funzione si dice biiettiva quando è suriettiva e iniettiva contemporaneamente. Quindi tutti gli elementi di A hanno immagini distinte in B e tutti gli elementi di B hanno controimmagini distinte in A. Quindi è iniettiva, ma anche suriettiva perchè nessun elemento rimane inassociato.

Una funzione iniettiva o biiettiva è una corrispondenza di tipo "uno a uno", mentre una suriettiva può essere di vario tipo.

Esempi di funzioni:
1) In una squadra di calciatori, ogni calciatore ha un numero che lo identifica sul campo da calcio. Quindi abbiamo l'insieme A dei calciatori, e l'insieme B nei numeri naturali da 1 a 30. Ad ogni calciatore deve corrispondere per forza un numero, quindi è una funzione, in quanto ogni elemento di A deve avere un'immagine in B. Poi sappiamo che un calciatore ha associato un solo numero identificativo diverso dagli altri giocatori, quindi la funzione è iniettiva poichè la corrispondenza è uno a uno. Se una squadra raggiunge il numero massimo di giocatori, nel nostro caso 30, la funzione diventa anche suriettiva, poichè ad ogni numero corrisponde un giocatore diverso. La funzione essendo iniettiva e suriettiva, diventa automaticamente biiettiva.

2) Abbiamo l'insieme A che contiene tutti i tipi di automobili d'Italia e l'insieme T che contiene tutte le targhe possibili. Dato un insieme I che contiene tutte le automobili immatricolate, ed una relazione R che associa ad ogni elemento x di I un solo elemento distinto y di T, possiamo dire che R è una funzione perchè ogni auto immatricolata deve avere una targa. Poi sappiamo che ad ogni auto immatricolata corrisponde una sola targa distinta dalle altre, quindi la funzione è iniettiva. Ed infine però sappiamo che non tutte le targe dell'insieme T sono associate ad un'automobile dell'insieme I, quindi la funzione non è suriettiva, e nemmeno biiettiva.