Insiemi numerici

Gli insiemi numerici sono insiemi che contengono un definito intervallo di numeri. In pratica sarebbero tutte le combinazioni possibili di cifre dell'alfabeto dei numeri. L'alfabeto dei numeri è l'insieme che contiene tutte le cifre, ad esempio Alfa = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.
Prendendo n elementi dall'insieme A, anche ripetuti, se li disponiamo in sequenza abbiamo dato vita ad un numero che a sua volta secondo determinate regole aritmetiche rappresenta una quantità di oggetti.


Ecco delle sequenze di cifre: 124, 895, 21, 7, 993, 567, 33188. Ogni sequenza è un numero e rappresenta appunto una quantità, inoltre bisogna notare che non si può rappresentare un numero mediante un insieme matematico poichè secondo la teoria degli insiemi, un insieme non può contenere elementi ripetitivi e l'ordine in cui sono disposti è indifferente. (ad es: l'insieme A = { 9, 9, 3 } non ha senso, poichè l'elemento 9 viene ripetuto e l'ordine può essere cambiato, e rappresenta comunque sempre lo stesso insieme, quindi B = { 3, 9 } è uguale ad A.

Elencare tutti gli elementi di un insieme numerico, non è conveniente in quanto i principali insiemi numerici hanno infiniti elementi.

Per determinare un insieme numerico, come tutti gli insiemi esistenti, dobbiamo prima determinare i suoi elementi o mediante elencazione o mediante proprietà caratteristica.

Se vogliamo usare numeri per esprimere quantità dobbiamo creare delle regole che permettono di stabilire tali quantità. Ad esempio, l'elemento 0 dell'insieme Alfa esprime una quantità nulla, cioè il niente («Io ho 0 mele» equivale a «io non ho mele»); mentre l'elemento 1 esprime una quantità equivalente ad un singolo oggetto; e così via... tutti noi comunque sappiamo la quantità che rapresenta ogni singola cifra. Se abbiamo bisogno di contare più di 9 oggetti, non possiamo usare una singola cifra, quindi ci sono delle regole che permettono di esprimere infinite quantità.
Ripetendo, i numeri sono sequenze di cifre, ogni cifra è contenuta in una casella e la quantità che rappresenta la cifra dipende dalla posizione della casella nella sequenza. Andando da destra verso sinistra, ogni casella successiva rappresenta una quantità maggiore moltiplicata per 10 (cardinalità dell'insieme Alfa), e questa è una regola fondamentale che ci fornisce un sistema di numerazione per rappresentare delle quantità. Quindi, possiamo dire che la prima casella rappresenta le unità, la seconda le decine, la terza le centinaia, la quarta le migliaia, ecc...

Esempi:
Dato il numero 673, la casella delle unità contiene la cifra 3, quindi abbiamo già rappresentato 3 unità (oggetti, case, alberi, cani, libri, computer...), la casella delle decine ha il numero 7 che dovrebbe rappresentare 7 unità, ma siccome dobbiamo attenerci alle specifiche del nostro sistema numerico, il numero sette viene moltiplicato per 10, divenendo 70. E così continuando, costruiamo il numero.

Gli insiemi dei numeri si distinguono per l'intervallo e per alcune proprietà. Sono i seguenti:

• L'insieme dei Numeri Naturali (N), che ha per elementi i numeri che esprimono quantità naturali, quindi dallo 0 (assenza di quantità o quantità nulla) all'infinito (∞).
• L'insieme dei Numeri Interi (Z), detti anche relativi, con intervallo (-∞, +∞) che ha in mezzo lo 0, prima dello zero i numeri negativi con segno - e dopo dello zero quelli positivi con segno +. In sintesi, i numeri positivi definiscono quantità che abbiamo, mentre quelli negativi quantità che ci mancano (che non abbiamo). (Es: «A me mancano due mele» è equivalente a «io ho -2 mele»).
• L'insieme dei Numeri Razionali (Q), che sono numeri rappresentabili mediante frazioni.
• L'insieme dei Numeri Reali (R) che raggruppa tutti i numeri rappresentabili.

Articolo da concludere.

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