Una relazione è un enunciato aperto con due argomenti di solito indicati con x ed y. R quindi è una relazione definita da p(x, y) ed x e y possono appartenere entrambi ad un insieme o a due insiemi diversi. Presi due elementi di qualsiasi insieme, se soddisfano l'enunciato p, allora si dice che sono in relazione tra di loro. Y è immagine di X e X è controimmagine di Y.
Per fare un esempio:
Se noi abbiamo l'insieme F = { 1, 2, 3 } e l'insieme T = { 2, 4, 6 }, ogni elemento di F si chiamerà x e ogni elemento di T si chiamerà y. Se definiamo una proposizione aperta p(x, y) la quale contiene il predicato "x è la metà di y", essa ha messo in relazione gli elementi dei due insiemi, ogni x in F ha un'immagine y in T, ed ogni y in T ha una controimmagine x in F.
File PDF guida sulle relazioni, proprietà delle relazioni e funzioni.
24 feb 2011
Relazione in matematica
23 feb 2011
22 feb 2011
Insieme ambiente in matematica
Che cos'è l'insieme ambiente in matematica o algebra?
L'insieme ambiente in matematica individua un insieme che include altri insiemi, detti sottoinsiemi. Gli elementi dell'insieme ambiente quindi vengono utilizzati per comporre altri insiemi attraverso un predicato o, una proposizione atomica/molecolare. Gli insiemi ambiente per eccellenza sono alcuni insiemi numerici:
- N: l'insieme dei numeri naturali, cioè i numeri interi positivi
- Z: l'insieme dei numeri interi, sia positivi che negativi
- Q: insieme dei numeri razionali, cioè quei numeri ottenibili tramite il rapporto di altri 2 numeri.
Partizione di un insieme
Si dice Partizione di un insieme A l'elenco dei sottoinsiemi (S1, S2, S3, ... ) che soddisfano i seguenti predicati:
Sono a due a due disgiunti;
Nessuno di loro è un insieme vuoto.
La loro unione ci dà l'insieme A stesso.
Esempio con insiemi:
ITIS = { x è una persona minorenne | x è uno studente dell'itis };
Classe1A = { x appartiene ad ITIS | x ha 13 o 14 anni e frequenta il corso A };
Classe 3C = { x appartiene ad ITIS | x ha 16 o 17 anni e frequenta il corso C };
... tutte le classi
Partizione di ITIS { x è una classe dell'istituto tecnico industriale statale };
Descrizione esempio per capire le partizioni di un insieme:
Nell'esempio, l'insieme ITIS è costituito da due predicati separati dal simbolo "|". Il primo predicato individua l'insieme ambiente, cioè l'insieme da cui si prendono gli elementi. Il secondo predicato invididua gli elementi di quell'insieme che lo soddisfano. Quindi l'insieme ITIS è formano dalle persone minorenni che frequentano l'istituto tecnico industriale statale. La partizione dell'insieme ITIS è costituita da tutte le classi che formano l'istituto perchè:
- Le classi sono a due a due disgiunte, poichè non contengono elementi in comune
- Nessuna classe è vuota
- La loro unione ci dà come risultato l'insieme di tutti gli studenti dell'istituto
21 feb 2011
Operazioni con le proposizioni logiche
Le operazioni con le proposizioni sono proprio come le operazioni aritmetiche, hanno un nome ed un simbolo. Nel nostro caso il simbolo prende il nome di connettivo, che corrisponde ad una particella linguistica se applicato alle frasi.
Le operazioni sulle proposizioni sono:
Negazione
Congiunzione
Disgiunzione inclusiva
Disgiunzione esclusiva
Implicazione materiale
Coimplicazione materiale
La negazione è l'operazione logica più semplice perchè opera su una sola proposizione e si attua anteponendo il connettivo "non" alla frase che appartiene alla proposizione, e il simbolo al nome della proposizione.
18 feb 2011
Operazioni sui predicati
Se non sapete cos'è un predicato, leggetevi l'apposita guida.
Elenco delle operazioni che si possono fare con i predicati algebrici o logici:
Negazione
Congiunzione
Disgiunzione
La negazione è un operazione unaria, cioè opera su un solo operando e restituisce un valore di verità opposto. Ad esempio, se vero restituisce falso, se falso restituisce vero.
Il simbolo della negazione logica è questo ¬ ed è seguito dal predicato.
Esempio: dato un predicato p: "l'uomo è un mammifero", ¬p: "l'uomo non è un mammifero".
La congiunzione è un operazione binaria, cioè opera su due operandi. Il simbolo della congiunzione è ∧ e si trova in mezzo fra i due predicati, mentre il connettivo è: e. Essa restituisce un valore di verità vero soltanto se entrambi i predicati sono veri.
Esempio:
La disgiunzione è un operazione binaria, il suo simbolo è ∨ o v. Essa restituisce un valore falso solo se sono falsi entrambi i predicati dell'operazione. In tutti gli altri casi vero.
Operazioni con gli insiemi
Le operazioni sugli insiemi sono definite da operazioni di predicati o composizioni di proposizioni aperte.
(cioè, noi possiamo definire gli elementi di un insieme attraverso predicati o proposizioni, e le operazioni che si possono fare sui predicati o le proposizioni, ci danno come risultato un nuovo predicato, che a sua volta rappresenta un nuovo insieme).
Ad esempio:
q: "x è minore di 60"; p: "x è minore di 30"
A = { x appartiene a N | q }
B = { x appartiene a N | p }Se effettuiamo un'operazione sui predicati p e q, otteniamo un nuovo predicato e di conseguenza un nuovo insieme. Quindi, associando al nuovo predicato un nuovo insieme, abbiamo effettuato un operazione fra insiemi. Vi rimando alle operazioni sui predicati per capire meglio.
Le operazioni che si possono fare sugli insiemi sono:
Intersezione (Deriva dalla congiunzione di due predicati)
Unione (Deriva dalla disgiunzione di due predicati)
Differenza (Dalla congiunzione di due predicati, con la negazione del secondo)
Prodotto Cartesiano (vedremo più avanti)
Cos'è l'intersezione fra gli insiemi? come si fà?
L'intersezione di insiemi è un operazione binaria, cioè con due operandi. Il risultato di un'intersezione fra due insiemi è un insieme che contiene gli elementi in comune, cioè gli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi.
Per esempio: dato l'insieme A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 1, 2, 6, 7 }, l'intersezione fra A e B ci dà l'insieme C = { 1, 2 }.
Unione fra due insiemi:
L'unione di due insiemi è un operazione binaria fra due insiemi. Il risultato dell'unione tra due insiemi è un insieme che contiene gli elementi dell'uno o dell'altro insieme, cioè gli elementi di tutti e due gli insiemi. Ogni elemento dell'insieme ottenuto deve appartenere all'uno o all'altro insieme, o ad entrambi e non dev'essere ripetuto nell'insieme risultato.
Differenza fra due insiemi:
La differenza di due insiemi è un operazione che restituisce un insieme il quale contiene gli elementi del primo che non appartengono al secondo.
Ad esempio:
Mammiferi = { cane, gatto, topo, canguro, pinguino }
Quadrupedi = { cane, gatto, topo }
Mammiferinonquadrupedi = Mammiferi - Quadrupedi
Mammiferinonquadrupedi = { canguro, pinguino }
Tutto deriva dalle operazioni con i predicati:
m: "x è un mammifero"
q: "x è un mammifero quadrupede"
Mammiferi = { m }
Quadrupedi = { q }
mnq = m congiunzione non q
quindi mnq: "x è un mammifero e non è un quadrupede"
Ora possiamo trarre una definizione generale più approfondita sulla differenza di due insiemi (rispondiamo alla domanda: cos'è la differenza fra insiemi?):
Dati due insiemi A e B, individuati dai predicati q ed m, l'insieme differenza è individuato da un predicato il quale, è il risultato della congiunzione fra q e non m (negazione di m).
17 feb 2011
Insieme delle parti
L'insieme delle parti di un insieme A, è l'insieme che contiene per elementi tutti i sottoinsiemi propri ed impropri di A. Essi infatti assumono la caratteristica di elementi che contengono altri elementi.
Esempi:
Determinare l'insieme delle parti
A = { x appartiene a N | x < 3 }
quindi A = { 0, 1, 2}
I sottoinsiemi impropri di A sono l'insieme A stesso e l'insieme vuoto.
I sottoinsiemi propri sono tutte le combinazioni possibili che si possono formare con gli elementi di A.
Ecco tutti i sottoinsiemi propri di A:
S1 = { 0 }; S2 = { 1 }; S3 = { 2 }; S4 = { 0, 1 }; S5 = { 0, 2 }; S6 = { 1, 2 }; S7 = { 0, 1, 2};
L'insieme delle parti di A, che si indica con P(A), è uguale:
P(A) = { insieme A stesso, insieme vuoto, S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7 };
La regola generale per ottenere la cardinalità dell'insieme delle parti di un insieme I è:
C_I = cardinalità di I (numero di elementi)
P(I) = 2^C_I (cioè 2 elevato C_I)
16 feb 2011
Proposizione (Matematica)
Che cos'è una proposizione in matematica?
In matematica, un predicato costituito da uno o più argomenti per il quale è possibile stabilire un valore di verità (vero o falso), prende il nome di proposizione o enunciato.
Una proposizione può essere atomica o molecolare.
La proposizione atomica è costituita da un solo predicato che collega 2 argomenti o ne caratterizza uno solo.
La proposizione molecolare è il risultato di un'operazione fra più proposizioni atomiche, con appunto le operazioni con le proposizioni.
Una proposizione o enunciato si dice aperta quando riceve in input argomenti variabili appartenenti ad un dato insieme.
Approfondimenti sulle proposizioni.
Tutti i Simboli matematici sulla tastiera
Se avete la necessità di scrivere formule matematiche o espressioni matematiche o algebriche in documenti di testo, non potete fare a meno dei simboli ed operatori matematici in unicode (Mathematical operators and symbols in unicode). Noi abbiamo quì un elenco di simboli utili con eventuale descrizione e qualche esempio.
Simboli di insiemi:
Simbolo di appartenenza ad un insieme: ∈
Simbolo di non appartenenza ad un insieme: ∉
Simbolo insieme vuoto: ∅ , Ø, ø, Φ
Simbolo sottoinsieme o improprio: ⊆, ⊇
Simbolo sottoinsieme proprio: ⊂ , ⊃
Simbolo di inclusione: ⊂ , ⊃
Quantificatore universale: ∀
Quantificatore esistenziale: ∃
Quantificatore non esistenziale nullo: ∄
Simbolo / i di non inclusione: ⊄ o ⊅
Maggiore o uguale simbolo: ≥
Minore o uguale simbolo: ≤
Simboli operazioni logiche unarie e binarie:
Negazione logica: ¬A o Ā (dove A è un insieme qualunque)
Congiunzione logica: ∧ ('v' rovesciata)
Disgiunzione inclusiva: ∨
Disgiunzione esclusiva: ⨃
Implicazione materiale: →
Implicazione logica: ⇒
Coimplicazione materiale: ↔
Simboli operazioni tra insiemi:
Negazione o complementazione:
Intersezione: Ç, ⋂
Unione: ⋃
Differenza:
Prodotto cartesiano:
Simbolo infinito: ∞ es. [(0, + ∞) è l'intervallo dell'insieme N (numeri naturali)]
PS : se conoscete o trovate altri simboli matematici ditecelo nei commenti, vi saremo riconoscenti.