Gli insiemi in matematica - Insiemi matematici

Cos'è un insieme nella matematica:

Un insieme matematico indica una collezione, un raggruppamento di oggetti. Un insieme può essere concreto o astratto. Gli oggetti che formano la raccolta prendono il nome di elementi e raggruppandoli formano un'insieme.
Un insieme si indica con una lettera maiuscola dell'alfabeto. Ad esempio: "l'insieme A degli alberi", l'insieme B delle case, ecc". Poi ci sono alcune particolari lettere per rappresentare insiemi matematici:
- N rappresenta l'insieme dei numeri naturali con intervallo (0, + ∞). L'insieme dei numeri naturali rappresenta l'insieme dei numeri interi positivi più lo zero.
- Z rapresenta l'insieme dei numeri interi relativi (- ∞, + ∞), cioè numero negativi + numeri naturali.
- Q rappresenta l'insieme dei numeri razionali, cioè quei numeri esprimibili mediante una frazione o un numero decimale/periodico.

Un insieme può essere finito, infinito o vuoto. Di
un insieme finito è possibile ottenere la cardinalità n che è uguale al numero degli elementi contenuti. Un insieme infinito non è rappresentabile mediante modalità tabulare o per elencazione ma mediante proprietà caratteristica (vedremo più avanti). Un insieme vuoto è un insieme che non ha elementi e si può indicare con:
{ }   oppure   ∅.
Due insiemi si dicono uguali quando hanno gli stessi elementi.

Ogni elemento può appartenere o non appartenere ad un insieme. Se x appartiene all'insieme dei numeri naturali si scrive:
          x ∈ N     altrimenti se non appartiene     x ∉ N

 

Modalità di rappresentazione di un insieme (rappresentare un insieme):

- Rappresentazione tabulare o per elencazione: consiste nell'elencare all'interno di parentesi graffe tutto gli elementi dell'insieme separati da virgole. Esempio: Mammiferi = { cane, gatto, topo, uccello, mucca, leone, tigre, gheopardo};

- Rappresentazione mediante proprietà caratteristica: consiste nell'attribuire ad ogni elemento dell'insieme una caratteristica che li accomuna tutti. Cioè un elemento per appartenere all'insieme dei multipli di 2 dev'essere un numero pari.
Esempio: Mammiferi = { x | x è capace di allattare }.
L'espressione verbale "x è capace di allattare" è una proprietà che un oggetto deve soddisfare per appartenere all'insieme Mammiferi. Definita Caratteristica.

- Rappresentazione mediante diagramma di eulero-venn:

Che consiste nel racchiudere in un ellisse gli elementi dell'insieme, ogni elemento è rappresentato da un puntino sospeso all'interno dell'ellisse. La figura sopra mostra una relazione tra due insiemi. Bambini e armadietti. Essa è una funzione.

Ogni insieme ha dei sottoinsiemi.

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