18 feb 2011

Operazioni con gli insiemi

Le operazioni sugli insiemi sono definite da operazioni di predicati o composizioni di proposizioni aperte.

(cioè, noi possiamo definire gli elementi di un insieme attraverso predicati o proposizioni, e le operazioni che si possono fare sui predicati o le proposizioni, ci danno come risultato un nuovo predicato, che a sua volta rappresenta un nuovo insieme).

Ad esempio:
q: "x è minore di 60"; p: "x è minore di 30"
A = { x appartiene a N | q }
B = { x appartiene a N | p }Se effettuiamo un'operazione sui predicati p e q, otteniamo un nuovo predicato e di conseguenza un nuovo insieme. Quindi, associando al nuovo predicato un nuovo insieme, abbiamo effettuato un operazione fra insiemi. Vi rimando alle operazioni sui predicati per capire meglio.

Le operazioni che si possono fare sugli insiemi sono:
Intersezione (Deriva dalla congiunzione di due predicati)
Unione (Deriva dalla disgiunzione di due predicati)
Differenza (Dalla congiunzione di due predicati, con la negazione del secondo)
Prodotto Cartesiano (vedremo più avanti)

Cos'è l'intersezione fra gli insiemi? come si fà?

L'intersezione di insiemi è un operazione binaria, cioè con due operandi. Il risultato di un'intersezione fra due insiemi è un insieme che contiene gli elementi in comune, cioè gli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi.
Per esempio: dato l'insieme A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 1, 2, 6, 7 }, l'intersezione fra A e B ci dà l'insieme C = { 1, 2 }.

Unione fra due insiemi:

L'unione di due insiemi è un operazione binaria fra due insiemi. Il risultato dell'unione tra due insiemi è un insieme che contiene gli elementi dell'uno o dell'altro insieme, cioè gli elementi di tutti e due gli insiemi. Ogni elemento dell'insieme ottenuto deve appartenere all'uno o all'altro insieme, o ad entrambi e non dev'essere ripetuto nell'insieme risultato.

Differenza fra due insiemi:

La differenza di due insiemi è un operazione che restituisce un insieme il quale contiene gli elementi del primo che non appartengono al secondo.
Ad esempio:
Mammiferi = { cane, gatto, topo, canguro, pinguino }
Quadrupedi = { cane, gatto, topo }
Mammiferinonquadrupedi = Mammiferi - Quadrupedi
Mammiferinonquadrupedi = { canguro, pinguino }
Tutto deriva dalle operazioni con i predicati:
m: "x è un mammifero"
q: "x è un mammifero quadrupede"
Mammiferi = { m }
Quadrupedi = { q }
mnq = m congiunzione non q
quindi mnq: "x è un mammifero e non è un quadrupede"

Ora possiamo trarre una definizione generale più approfondita sulla differenza di due insiemi (rispondiamo alla domanda: cos'è la differenza fra insiemi?):
Dati due insiemi A e B, individuati dai predicati q ed m, l'insieme differenza è individuato da un predicato il quale, è il risultato della congiunzione fra q e non m (negazione di m).

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