Le proposizioni in algebra vengono usate per determinare e operare con gli insiemi.
Noi sappiamo che per esprimere la caratteristica di un oggetto è necessaria una frase, ma codesta frase può essere chiamata predicato se è possibile attribuirgli un valore di verità in base ad un ragionamento logico.
Questi sono esempi di predicati:
p: «io sono amico tuo», f: «mia sorella pesa 55 kg», c: «papa ha i capelli bianchi»
Questi invece non sono predicati:
o: «chi sono i tuoi amici?», r: «domani vengo a trovarti» q: «gianna è bella»
p, f e c sono predicati perchè è possibile dire se sono vere o false. o, r e q non sono predicati perchè non ha senso in logica attribuirgli un valore di verità.
3 mar 2011
Proposizioni in matematica
2 mar 2011
Relazioni di equivalenza
Una relazione è di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva.
Ripetiamo un attimino per chi sene fosse dimenticato le proprietà delle relazioni matematiche, una relazione algebrica R è:
1 mar 2011
Relazioni d'ordine
Una relazione d'ordine in un insieme A ha il compito generico di ordinare gli elementi di tale insieme. Stabilita quindi una relazione R in A, se essa soddisfa la proprietà antisimmetrica e transitiva delle relazioni, tale relazione prende il nome di relazione d'ordine.
Definizione di relazione d'ordine:
Una relazione R è una relazione d'ordine se e solo se è antisimmetrica e transitiva.
Esempio:
28 feb 2011
Dominio e codominio di relazione
Nell'insieme delle coppie di una relazione R, il primo elemento di ogni coppia appartiene al dominio della relazione, il secondo elemento di ogni coppia appartiene al codominio della relazione.
Proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva
Proprietà riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, antisimmetrica e transitiva delle relazioni matematiche.
Proprietà riflessiva:
Avviene quando definita una relazione R da una proposizione aperta p(x, y), ottenendo x R y (x è in relazione con y) anche y R x (anche y è in relazione con x). Quindi con una spiegazione veloce, una relazione in un dato insieme A è riflessiva quando ∀A (tutti gli elementi di A o ciascun elemento di A) è o sono in relazione con se stessi.
Proprietà antiriflessiva:
Una relazione in un insieme F si dice antiriflessiva quanto nessun elemento di F è in relazione con se stesso.
Per esempio, stabilita una relazione R da un enunciato p(x, y) "x è la metà di y", per verificare se è riflessiva, non riflessiva o antiriflessiva bisogna verificare se ogni elemento del dominio o codominio è in relazione R con se stesso. Quindi, se "x è la metà di y", "x non è la metà di x". Se x = 2, 2 non è la metà di 2. Stessa ed identica cosa con y.
Proprietà simmetrica:
Data una relazione x R y, se si ha che anche y R x, la relazione è simmetrica. Questo significa che in una relazione simmetrica non ha alcun significato l'ordine degli elementi delle coppie o gruppi, perchè la proposizione è sempre vera. Cioè, se ...
Proprietà antisimmetrica:
In una relazione R, se x R y ma y non R x (se x è in relazione con y ma y non è in relazione con x) per tutti gli elementi dell'insieme, allora la relazione è antisimmetrica.
Proprietà transitiva:
La proprietà transitiva di una relazione definita da un enunciato aperto p(x, y, z) ci dice che: se x è in relazione con y e y è in relazione con z, anche x è in relazione con z. Una relazione di questo tipo si dice transitiva.
Le relazioni d'ordine e di equivalenza dipendono proprio da tutte queste proprietà:
- Una relazione di equivalenza dev'essere riflessiva, simmetrica e transitiva contemporaneamente.
- Una relazione d'ordine dev'essere antisimmetrica e transitiva.
Una relazione di questo tipo:
{ Nessun elemento del dominio della relazione ha un'immagine, o semplicemente non è controimmagine di nessun elemento del codominio. }
Si dice vuota o nulla, perchè il sottoinsieme risultato non contiene nessuna coppia di x, y, quindi in tutte le combinazioni possibili di coppie di elementi che appartengono all'insieme ambiente, nessuna di esse soddisfa la proposizione della relazione. Quindi a questo punto dobbiamo dire che anche dominio e codominio della relazione sono vuoti.
Relazione matematica di coppie
Una relazione è un rapporto tra due elementi di uno, due o più insiemi. Il rapporto di una relazione viene definito da una proposizione aperta o enunciato aperto con il predicato immesso tra i due argomenti della proposizione. Il risultato è un insieme che ha per elementi le coppie ordinate che soddisfano la proposizione logica della relazione.
Ad esempio:
Insieme A = { 3, 4, 5, 6, 8, 11 }
Insieme B = { 8, 22, 6 }
Enunciato aperto p(x, y) « x è la metà di y », con x ∈ A e y ∈ B.
Relazione R definita dall'enunciato logico p
R = { (3, 6), (4, 8), (11, 22) }
Altro esempio di relazione:
27 feb 2011
Matematica facile - Algebra facile
Per apprendere facilmente la matematica occorre studiare al meglio secondo criteri opportuni. Apprendere velocemente la matematica richiede molta applicazione. Una volta capito un semplice concetto studiato, bisogna passare all'applicazione, cioè svolgere esercizi su esercizi, indovinelli ecc per eliminare sempre di più i dubbi in modo da evitare di dimenticare e memorizzare sempre meglio.
Lezioni di algeba online
Lezioni di algebra di base online gratis:
Questo è un percorso fatto di lezioni ed è rivolto a chiunque voglia apprendere le basi dell'algebra online in modo semplice e veloce, alla spiegazione dettagliata di ogni concetto, si aggiungono oltre agli esempi, articoli di approfondimento, esercizi svolti, guidati e da svolgere online.
- Insiemi:
- Gli insiemi in matematica (cos'è un insieme?)
- Sottoinsiemi di un insieme (cos'è un sottoinsieme?)
- Logica:
- Predicati in matematica (cos'è un predicato in logica?)
- Proposizioni: semplice, approfondito (cos'è una proposizione?)
- Insiemi e logica:
- Insieme delle parti (cos'è l'insieme delle parti? come si determina?)
- Operazioni sugli insiemi (quali operazioni si possono fare sugli insiemi?)
- Operazioni con i predicati (quali operazioni si possono fare con i predicati?)
- Operazioni con le proposizioni logiche - Le operazioni logiche
- Partizione di un insieme
- Insieme ambiente in matematica
- Condizioni e teoremi:
- Condizione sufficiente
- Condizione necessaria
- Condizioni necessarie e sufficienti
- Definizione di teorema
- Relazioni:
- Relazione in matematica: 1 o 2
- Dominio e codominio di relazione
- Proprietà delle relazioni:
- Proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva
- Relazioni di equivalenza
- Relazioni d'ordine
- Relazioni di equivalenza
- Funzioni:
- Funzione in matematica
- Funzione suriettiva, iniettiva e biiettiva
- I numeri matematici Tengo presente che il seguente corso non è stato ancora ultimato, stiamo lavorando per farlo.
26 feb 2011
Esercizi di matematica online
Esercizi di algebra online:
- Esercizi sugli insiemi.
- Esercizi sui predicati in matematica.
- Esercizi sulle proposizioni.
- Esercizi di logica matematica:
- Operazioni con i predicati
- Operazioni con le proposizioni
Esercizi sugli insiemi
Ecco un elenco di esercizi sugli insiemi:
Numero 1:
Dato l'insieme A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } rappresentato mediante elencazione tabulazione, rappresentalo mediante proprietà caratteristica. Cioè, individua il predicato o la proposizione aperta che tutti gli elementi di A soddisfano. Essa sarà la proprietà caratteristica dell'insieme.
Numero 2:
Dato l'insieme N = { x ∈ R | x ≥ 0 }, rappresenta mediante elencazione l'insieme individuato dal predicato p: "x è < di 7" in N.
Numero 3:
Dato l'insieme N dei numeri naturali, individua attraverso un predicato p: "" o una proposizione aperta p() un insieme, e poi con la negazione del predicato determina l'insieme complementare rappresentandolo mediante elencazione.
Numero 4:
Dati i seguenti insiemi: A = { marco, giovanni, paolo, francesco }, B = { luca, giovanni, paolo } e C = { marco, giovanni }, determina il valore di verità delle seguenti relazioni:
a. C ⊂ A b. B ⊃ C c. C ⊆ A
Altri esercizi sugli insiemi matematici: 1, 2, 3
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