Un predicato è un'espressione verbale per la quale ha senso dire se è vera o se è falsa, che associata ad un insieme diventa una proprietà degli elementi di quell'insieme. Se parliamo dell'insieme A, e gli associamo il predicato p, otteniamo un sottoinsieme proprio o improprio di A se alcuni o tutti gli elementi che appartengono ad A soddisfano il predicato p.
Un predicato dunque è una frase che in logica può assumere un valore di verità (vero o falso).
Esempio:
A = { cane, gatto, topo, serpente, coccodrillo, giraffa};
L'insieme A è individuato dal predicato "x ∈ A | x è un'animale";
B = {x ∈ A | x è un quadripede};
Il predicato "x è un quadripede" individua gli animali a quattro zampe dell'insieme A.
13 feb 2011
Logica dei predicati
Sottoinsiemi di un insieme
Preso l'insieme N dei numeri naturali possiamo ottenere un nuovo insieme tramite un predicato. Associando ad esempio il predicato p:"x è pari" all'insieme N si ottiene un nuovo insieme costituito da tutti gli elementi di N che sono pari. Questo insieme viene detto sottoinsieme di N e si dice che è incluso in esso o che esso lo include.
Dato un insieme A, i suoi sottoinsiemi si dividono in due categorie: propri ed impropri. I sottoinsiemi impropri sono l'insieme A stesso e l'insieme vuoto indicato con {}. I sottoinsiemi propri sono tutti gli altri.
Per dire che L'insieme B è un sottoinsieme di A si scrive:
B ⊂ A oppure A ⊃ B che significano:
B è incluso in A A include B
Esempi:
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }; (Rappresentazione tabulare o per elencazione)
B = { x ∈ A | x < 4 }; (Rappresentazione mediante proprietà caratteristica)
B è un sottoinsieme proprio di A. È individuato dal predicato p: "x < 4".
Gli insiemi in matematica - Insiemi matematici
Cos'è un insieme nella matematica:
Un insieme matematico indica una collezione, un raggruppamento di oggetti. Un insieme può essere concreto o astratto. Gli oggetti che formano la raccolta prendono il nome di elementi e raggruppandoli formano un'insieme.
Un insieme si indica con una lettera maiuscola dell'alfabeto. Ad esempio: "l'insieme A degli alberi", l'insieme B delle case, ecc". Poi ci sono alcune particolari lettere per rappresentare insiemi matematici:
- N rappresenta l'insieme dei numeri naturali con intervallo (0, + ∞). L'insieme dei numeri naturali rappresenta l'insieme dei numeri interi positivi più lo zero.
- Z rapresenta l'insieme dei numeri interi relativi (- ∞, + ∞), cioè numero negativi + numeri naturali.
- Q rappresenta l'insieme dei numeri razionali, cioè quei numeri esprimibili mediante una frazione o un numero decimale/periodico.
Un insieme può essere finito, infinito o vuoto. Di
un insieme finito è possibile ottenere la cardinalità n che è uguale al numero degli elementi contenuti. Un insieme infinito non è rappresentabile mediante modalità tabulare o per elencazione ma mediante proprietà caratteristica (vedremo più avanti). Un insieme vuoto è un insieme che non ha elementi e si può indicare con:
{ } oppure ∅.
Due insiemi si dicono uguali quando hanno gli stessi elementi.
Ogni elemento può appartenere o non appartenere ad un insieme. Se x appartiene all'insieme dei numeri naturali si scrive:
x ∈ N altrimenti se non appartiene x ∉ N
Modalità di rappresentazione di un insieme (rappresentare un insieme):
- Rappresentazione tabulare o per elencazione: consiste nell'elencare all'interno di parentesi graffe tutto gli elementi dell'insieme separati da virgole. Esempio: Mammiferi = { cane, gatto, topo, uccello, mucca, leone, tigre, gheopardo};
- Rappresentazione mediante proprietà caratteristica: consiste nell'attribuire ad ogni elemento dell'insieme una caratteristica che li accomuna tutti. Cioè un elemento per appartenere all'insieme dei multipli di 2 dev'essere un numero pari.
Esempio: Mammiferi = { x | x è capace di allattare }.
L'espressione verbale "x è capace di allattare" è una proprietà che un oggetto deve soddisfare per appartenere all'insieme Mammiferi. Definita Caratteristica.
- Rappresentazione mediante diagramma di eulero-venn:
Ogni insieme ha dei sottoinsiemi.
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