Le operazioni fra numeri naturali sono definite dalle operazioni sugli insiemi stessi (che appartengono all'insieme quoziente della relazione di equipotenza fra insiemi).
Le prime due sono fondamentali: l'addizione (o somma) e la moltiplicazione (o prodotto). [La sottrazione è l'opposto della somma, e la divisione l'opposto della moltiplicazione]
Addizione (Somma di numeri naturali):
Ci siamo mai chiesti perchè 2 + 2 fà 4? o perchè 12 + 5 fà 18? sinceramente sembra troppo stupida la domanda, infatti potremmo rispondere che se abbiamo 2 mele in una mano e altre 2 nell'altra, unendo le mani ne avremo 4. Possiamo subito pensare agli insiemi, infatti la mano sinistra rappresenta l'insieme A, e la destra l'insieme B. Unendo i due insiemi, otterremmo l'insieme C che contiene quattro elementi.
Quindi:
A = { mela_1, mela_2 }
B = { mela_3, mela_4 }
C = A ⋃ B e cioè { mela_1, mela_2, mela_3, mela_4 }
[Ecco una lezione sull'unione fra insiemi]
Ma se avremmo avuto così:
A = { mela_1, mela_2 }
B = {mela_2, mela_3 }
C = A ⋃ B e cioè { mela_1, mela_2, mela_3 }
Allora C non conterrà quattro elementi, ma tre. Da quì si deduce che nel primo esempio A e B sono disgiunti, mentre nel secondo no. Ora possiamo formulare una regola generale, o per meglio dire, un teorema.
«Dati due insiemi A e B disgiunti ai quali sono associati due numeri naturali a e b, l'unione di A e B ci dà l'insieme C che ha associato il numero c, e quest'ultimo sarà il risultato della somma di a con b»
«a e b si dicono addendi»
Moltiplicazione:
Per spiegare alle domande della moltiplicazione, faremo in modo analogo all'addizione. Andiamo in un supermarket per comprare delle brioche, vediamo che ogni confezione ne contiene 6 e prendiamo 3 confezioni. E per sapere quante brioche abbiamo comprato?
A = { b1, b2, b3, b4, b5, b6 } [brioche] con cardinalità t
B = { c1, c2, c3 } [confezioni] con cardinalità r
C = A x B e cioè { (b1, c1), (b1, c2), (b1, c3), (b2, c1), (b2, c2), ..., (b6, c3)}
C avrà cardinalità z = t x r. Quindi 6 x 3 = 18.
Si dice che z è multiplo di t secondo r, ed è multiplo di r secondo t.
[Avremo potuto risolvere il tutto unendo le tre confezioni? nella realtà sì, ma in algebra no. Poichè è sempre l'insieme A, ed unendono con se stesso infinite volte, sara sempre uguale ad A. Al contrario, se ogni confezione avrebbe avuto un insieme diverso, allora sì.]
Sottrazione (O differenza):
Alcuni dicono che la sottrazione è la somma di un numero con l'opposto del secondo, ma questo in N non è possibile, in quanto non esistono i numeri negativi, e non si possono rappresentare in nessun modo.
Basandoci sugli insiemi, e precisamente sull'operazione di differenza fra insiemi, possiamo determinare la sottrazione fra due numeri. Ecco un esempio:
T = { 1, 3, 6, 9, 10, 15, 19, 21 } [8 elementi]
M = { 6, 10, 15 } [3 elementi]
T - M = { 1, 3, 9, 19, 21 } [5 elementi]
Da notare però che T ed M non sono disgiunti stavolta, ma M è incluso in T. Quindi il sottraendo (M) dev'essere associato ad un sottoinsieme dell'insieme del minuendo (T).
Lezione inconclusa!
Le quattro operazioni
1 commento:
12+5 fa 18?
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